目录
适用条件
基本操作函数
功能实现函数
测试使用图
算法讲解
初始化
迭代
贝尔曼福特算法代码
全部代码
实验结果
适用条件
图中可以有负权，但不能有负圈（圈中弧或边的权值之和小于0）
基本操作函数
- InitGraph(Graph &G) 初始化函数 参数：图G 作用：初始化图的顶点表，邻接矩阵等
- InsertNode(Graph &G,VexType v) 插入点函数 参数：图G,顶点v 作用：在图G中插入顶点v,即改变顶点表
- InsertEdge(Graph &G,VexType v,VexType w) 插入弧函数 参数：图G,某弧两端点v和w 作用：在图G两点v,w之间加入弧，即改变邻接矩阵
- Adjancent(Graph G,VexType v,VexType w) 判断是否存在弧(v,w)函数 参数：图G，某弧两端点v和w 作用：判断是否存在弧(v,w)
- BFS(Graph G, int start) 广度遍历函数 参数：图G,开始结点下标start 作用：宽度遍历
- DFS(Graph G, int start) 深度遍历函数（递归形式）参数：图G,开始结点下标start 作用：深度遍历
- Dijkstra(Graph G, int v) 最短路径 - Dijkstra算法 参数：图G、源点v
- Bellman_Ford(Graph G, int v) 最短路径 - Bellman_Ford算法 参数：图G、源点v 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
功能实现函数
- CreateGraph(Graph &G) 创建图功能实现函数 参数：图G InsertNode 作用：创建图
- BFSTraverse(Graph G) 广度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：宽度遍历
- DFSTraverse(Graph G) 深度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：深度遍历
- Shortest_Dijkstra(Graph &G) 调用最短路径-Dijkstra算法 参数：图G、源点v
- Shortest_Bellman_Ford(Graph &G) 调用最短路径- - Bellman_Ford算法 参数：图G
测试使用图
测试用图
算法讲解
| 迭代次数\目标结点 |
v0 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
pr |
| 1 |
0 |
1 |
5 |
3 |
∞ |
pr[0]=-1,pr[1]=0 pr[2]=0,pr[3]=0 pr[4]=0 |
| 2 |
0 |
1 |
3 |
1 |
6 |
pr[0]=-1,pr[1]=0 pr[2]=1,pr[3]=2 pr[4]=3 |
| 3 |
0 |
1 |
3 |
-1 |
4 |
pr[0]=-1,pr[1]=0 pr[2]=1,pr[3]=2 pr[4]=3 |
| 4 |
0 |
1 |
3 |
-1 |
2 |
pr[0]=-1,pr[1]=0 pr[2]=1,pr[3]=2 pr[4]=3 |
多说一句，其中一个作者 Richard Bellman是动态规划的创始人，上面的表也就体现了动态规划的思想。下面的迭代部分红色部分就是状态转移方程（博主不喜欢用数学的符号化语言进行描述，一般都是理解了用文字来告诉读者）。
初始化
首次迭代结果，即与源点直连的边的权值，若无直连，则为无穷。
迭代
每次迭代都是与上一次迭代结果相比较。迭代次数即与源点之间的边数。迭代结果即min{上次迭代结果，边数增加后的权值之和}。
第二次迭代，目标节点为v2，从源点出发经过两条边到达v2时，最短路径（v0->v1->v2）长度变为3（1+2）。
目标节点为v3，从源点出发经过两条边到达v3时，最短路径（v0->v2->v3）长度变为1（5-4）。
目标节点为v4，从源点出发经过两条边到达v4时，最短路径（v0->v3->v4）长度变为6（3+3）。
第三次迭代，目标节点为v3，从源点出发经过三条边到达v3时，最短路径（v0->v1->v2->v3）长度变为-1（1+2-4）。
目标节点为v4，从源点出发经过三条边到达v4时，最短路径（v0->v2->v3->v4）长度变为4（5-4+3）。
第四次迭代，目标节点为v4，从源点出发经过四条边到达v4时，最短路径（v0->v1->v2->v3->v4）长度变为2（1+2-4+3）。
pr很简单，每次迭代更新就好，就不讲解了。
贝尔曼福特算法代码
//最短路径 - Bellman_Ford算法 参数：图G、源点v 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
bool Bellman_Ford(Graph G, int v)
{
//初始化
int n = G.vexnum;//n为图的顶点个数
for (int i = 0; i < n; i++)
{
D[i] = G.Edge[v][i];
if (D[i] < INF)Pr[i] = v; //v与i连接，v为前驱
else Pr[i] = -1;
}
D[v] = 0;
//初始化结束，开始双重循环
for(int i=2;i D[j] + G.Edge[j][k])
{
D[k] = D[j] + G.Edge[j][k];
Pr[k] = j;
}
//判断是否含有负圈
bool flag = true;
for (int j = 0; j D[j] + G.Edge[j][k])
{
flag = false;
break;
}
return flag;
}
算法自带负圈检测，并且可知道负圈包含的节点。若含有负圈，则包含的点的最短路径值不收敛。
全部代码
/*
Project: 图-最短路径-Bellman-Ford算法（可含有负权弧）
Date: 2019/10/24
Author: Frank Yu
基本操作函数:
InitGraph(Graph &G) 初始化函数 参数：图G 作用：初始化图的顶点表，邻接矩阵等
InsertNode(Graph &G,VexType v) 插入点函数 参数：图G,顶点v 作用：在图G中插入顶点v,即改变顶点表
InsertEdge(Graph &G,VexType v,VexType w) 插入弧函数 参数：图G,某弧两端点v和w 作用：在图G两点v,w之间加入弧，即改变邻接矩阵
Adjancent(Graph G,VexType v,VexType w) 判断是否存在弧(v,w)函数 参数：图G，某弧两端点v和w 作用：判断是否存在弧(v,w)
BFS(Graph G, int start) 广度遍历函数 参数：图G,开始结点下标start 作用：宽度遍历
DFS(Graph G, int start) 深度遍历函数（递归形式）参数：图G,开始结点下标start 作用：深度遍历
Dijkstra(Graph G, int v) 最短路径 - Dijkstra算法 参数：图G、源点v
Bellman_Ford(Graph G, int v) 最短路径 - Bellman_Ford算法 参数：图G、源点v 作用：计算不含负圈图的最短路径 返回是否有圈
功能实现函数：
CreateGraph(Graph &G) 创建图功能实现函数 参数：图G InsertNode 作用：创建图
BFSTraverse(Graph G) 广度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：宽度遍历
DFSTraverse(Graph G) 深度遍历功能实现函数 参数：图G 作用：深度遍历
Shortest_Dijkstra(Graph &G) 调用最短路径-Dijkstra算法 参数：图G、源点v
Shortest_Bellman_Ford(Graph &G) 调用最短路径- - Bellman_Ford算法 参数：图G
*/
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
实验结果
最短路径与生成树
最短路径（红笔）与生成树
实验结果截图
结果截图
更多数据结构与算法实现：数据结构（严蔚敏版）与算法的实现（含全部代码）
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