【数据结构与算法】第十六篇：图论（基础篇）

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图形结构的引进

数据结构包括物理结构和逻辑结构，其中逻辑结构又包括线性结构和非线性结构，树，图都属于非线性结构。

图（Grapth）

1.图的概念与应用

◼ 图由顶点（vertex）和边（edge）组成，通常表示为 G = (V, E)
G表示一个图，V是顶点集，E是边集
顶点集V有穷且非空
任意两个顶点之间都可以用边来表示它们之间的关系，边集E可以是空的

图的应用

2.有向图

◼ 有向图的边是有明确方向的

◼ 有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称 DAG）
如果一个有向图，从任意顶点出发无法经过若干条边回到该顶点，那么它就是一个有向无环图

入度，出度

◼ 出度、入度适用于有向图
◼ 出度（Out-degree）
一个顶点的出度为 x，是指有 x 条边以该顶点为起点
顶点11的出度是3
◼ 入度（In-degree）
一个顶点的入度为 x，是指有 x 条边以该顶点为终点
顶点11的入度是2

3.无向图

◼ 无向图的边是无方向的
类似于双向有向图

4.完全图

无向完全图

无向完全图的任意两个顶点之间都存在边
n 个顶点的无向完全图有 n(n − 1)/2 条边
✓ n − 1 + n − 2 + n − 3 + ⋯+ 3 + 2 + 1

有向完全图

◼ 有向完全图的任意两个顶点之间都存在方向相反的两条边
n 个顶点的有向完全图有 n(n − 1) 条边
稠密图：边数大于等于完全图
稀疏图：边数远远小于完全图

5.连通图

◼ 如果顶点 x 和 y 之间存在可相互抵达的路径（直接或间接的路径），则称 x 和 y 是连通的(任意两个节点之间都有相互抵达的路径)
◼ 如果无向图 G 中任意2个顶点都是连通的，则称G为连通图
强连通图
如果一张图即使连通图又是有向图则他是强连通图

6.连通分量

连通分量：无向图的极大连通子图
◼连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量
◼ 下面的无向图有3个连通分量

强连通分量

强连通分量：有向图的极大强连通子图
强连通图只有一个强连通分量，即其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量

图的实现方案

1.邻接矩阵实现法

◼ 邻接矩阵的存储方式
一维数组存放顶点信息
二维数组存放边信息
如果两个顶点之间存在边则填写1，否则则填写0

◼ 邻接矩阵比较适合稠密图（因为 0）
不然会比较浪费内存

2.邻接表实现法

用一维数组链上链表的形式进行存储

3.两种方法对比分析