图网络与药物研发【图信号处理和GCN】

• 《深入浅出图神经网络》的笔记
• 拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系，拉普拉斯矩阵可以反映图信号的局部平滑度，$\Delta x=Lx$
• 图信号的总变差是一个标量，刻画了图信号的全局平滑度
• 傅里叶变换，复变函数与积分变换（华中科技大学）-傅里叶变换
• 图傅里叶变换（这个讲了为什么要投影到拉普拉斯矩阵的特征向量上） 是将图信号投影（内积的几何意义）到每个傅里叶基上，可以拿到傅里叶系数，这部分可以看《深入浅出图神经网络》。对比而言，1.图傅里叶变换是将图信号$x$分解到傅里叶基（拉普拉斯矩阵的特征向量是特征空间中的一组完备基向量）上，而傅里叶变换是将函数分解到无数个正弦波上；2.图傅里叶变换分解之后总变差可以分解为特征值的傅里叶系数加权和，图傅里叶变换后特征值等价是傅里叶变换后正弦波的频率，特征值越大，对应傅里叶基变换越快，频率越高，傅里叶基等价是对应频率正弦波的成分多少

这里提到的图位移算子不太理解，可以去看看提到的文献[3][4]，图滤波器的拉普拉斯矩阵多项式展开也不太理解

• 图滤波器是对图信号的频谱中各个频率分量（${\lambda }_k$）的强度（${\tilde{x}}_k$）的强度+±-的操作，空域上看是通过对一阶子图的多步迭代来完成，频域上看是将图信号转换到频域，调节强度再转回空域，整个转换过程有明确公式指导

为什么$H_{{\tilde{x}}_1}$显然是一个图位移算子？

• 两个图信号$x_1,x_2$的卷积等价于图的滤波操作$x_1\ast x_2=H_{{\tilde{x}}_1}{x}_2$