函数间隔几何间隔

函数间隔几何间隔

1.支持向量机和logistic函数的有什么区别

实践发现，在所给的例子中，两种方法线性划分两类事物时得到的线性分类器的效果差不多。那具体的差别在哪呢？
SVM更关心的是靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优，因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。因此支持向量机和和逻辑斯蒂回归的不同点，一个是考虑局部（不关心已经确定远离的点，更考虑靠近中间分割线的点），一个是考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）
2. 函数间隔和几何间隔

首先我们定义超平面的表达式为 y = ω T x + b y=\omega ^Tx+b y=ωTx+b，然后熟悉一下一个点 ( x , y ) (x,y) (x,y)到Ax+By+C=0，的距离公式是 A x + B y + C A 2 + B 2 \frac{Ax+By+C}{\sqrt{A^{2}+B{2}}} A2+B2

​Ax+By+C​，其次我们要清楚我们的任务是找到离超平面最近的点，并使它最远。
2.1 函数间隔

接着来看函数间隔的定义：给定一个训练样本 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi​,yi​)，x是特征，y是结果标签，i表示第i个样本。定义函数间隔为：
γ i ^ = y i ( w ∗ x i + b ) \widehat{\gamma_{i}}=y_{i}(w*x_{i}+b) γi​
​=yi​(w∗xi​+b)

由于之前对g(z)进行了定义，当 y i = 1 y_i=1 yi​=1时， w ∗ x i + b ≥ 0 wx_i+b≥0 w∗xi​+b≥0，所以函数间隔实际上是 ∣ w ∗ x i + b ∣ |wx_i+b| ∣w∗xi​+b∣。由于是一个训练样本，那么为了使函数间隔最远（更大的信息确定该样本是正例还是反例），所以，当 y i = 1 y_i=1 yi​=1时，我们希望 w ∗ x i + b wx_i+b w∗xi​+b能够非常大，反之是非常小。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。
函数间隔如果同时扩大w和b的话，例如将 w ∗ x i + b wx_i+b w∗xi​+b乘个系数2，函数间隔会增大2倍，但是所求的超平面 w ∗ x i + b = 0 w*x_i+b=0 w∗xi​+b=0不会变化（注意这里一个是超平面概念，一个是函数间隔概念）刚刚我们定义个函数间隔是针对某一个样本的，现在我们针对全局样本的定义的函数间隔：
γ ^ = m i n γ ^ i i = 1 , . . . , N \widehat{\gamma }=\underset{i=1,…,N}{min \widehat{\gamma}_{i}} γ
​=i=1,…,Nminγ
​i​​

意思就是找到训练样本中函数间隔最小的那个样本，并且要让它的函数间隔最大。
2.2 几何间隔

几何间隔首先简单一点说就是点到直线距离，如图

这里写图片描述
假设我们有B点所在的 w ∗ x i + b = 0 wx_i+b=0 w∗xi​+b=0，任何其他一点，比如A到该面的距离以 γ i γ^i γi表示，假设B就是A在分割面上的投影。W是法向量，则单位向量就是 ω ∣ ∣ ω ∣ ∣ \frac{\omega }{||\omega ||} ∣∣ω∣∣ω​。A点坐标是 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi​,yi​)。所以B点是 x = x i − γ i ∗ ω ∣ ∣ ω ∣ ∣ x=x_i-γ^i\frac{\omega }{||\omega ||} x=xi​−γi∗∣∣ω∣∣ω​（初中数学知识），带入到所需要求的超平面 w ∗ x i + b = 0 w*x_i+b=0 w∗xi​+b=0，就得到以下公式：
这里写图片描述
看吧，几何距离实际上就是点到直接距离，换一种写法：
这里写图片描述
当||w||等于1的时候，函数间隔就和几何间隔一样，可以理解为函数间隔是几何间隔没有除以||w||的表达，几何间隔是函数间隔归一化的结果。这是为什么呢？因为函数间隔是我们定义的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。几何间隔最大的优势就是不管将w和b扩大几倍，几何间隔都没有影响。
同样，定义全局的几何间隔为 这里写图片描述
几何间隔与函数间隔的关系就是：
γ = γ ^ ∣ ∣ ω ∣ ∣ \gamma =\frac{\widehat{\gamma }}{||\omega ||} γ=∣∣ω∣∣γ
​​
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「ChiiZhang」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/m0_37687753/article/details/80964487