高中奥数 2022-03-25

2022-03-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题06）

求证:对于任意实数、,存在中的和,使得

并问上述命题中的改或是否仍成立?

证明

反设命题不成立,则存在实数a、,使得对于中的任意、,均有.

分别取;;,有,,,则,矛盾!

2022-03-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P067 习题07）

设,是集合中的不同元素,每当,,就有某个,,使得.

求证:.

证明

不妨设,下面证明:对任意满足的正整数,有

如果成立,则,因此结论成立.

对可以用反证法,若存在某个正整数,,使得,于是.是个正整数,且每个都.由题目条件,这个正整数每个都是的形式,且两两不同,而它们都大于,故必为之一.矛盾!

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P068 习题08）

对于任意以及实数序列,求证存在,满足:

证明

用反证法,若对任意,有.记.

补充定义.则与中有一个,另一个.不妨设,(否则可用代替),于是,存在,,使得,.故,即,则,与的定义矛盾!

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P068 习题09）

设,.是的实部的绝对值.求证:

证明

设是的任一平方根,则,且.
故,.

反设,则,.

于是,从而,矛盾!

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P068 习题10）

给定非增的正数列 ,其中,且.求证:从数列中可找出个数,最小数超过最大数的一半.

证明

用反证法.若不存在这样的个数,则对,有;对,有;;对,有.,则

故,矛盾!