反证法在证明题中的应用

反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：

（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；

（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；

（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.

其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.

类型一 证明“至多”或“至少”问题

证明“至多”或“至少”问题

使用情景：证明“至多”或“至少”问题．
解题步骤：

第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例1.若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。
【解析】注意“至少”字样，可以考虑用反证法证明

证明：假设同时成立，又,

将以上两式相加得 ,

这与已知条件矛 盾，

因此假设不成立。

故或中至少有一个成立。

【点评】反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。

类型二 证明“不可能”问题

证明“不可能”问题

使用情景：证明“不可能”问题．
解题步骤：

第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．
【解析】：要证明经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图像上存在两点,使得直线平行于轴，可以考虑假设函数图像上存在两点,使得直线平行于轴，然后得出矛盾。

证明：假设函数图像上存在两点，使得直线平行于轴，设且由得，解得。与已知矛盾。故经过这个函数图像上任意两个不同的点的直线不平行于轴

【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。

类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题

证明“存在性”或“唯一性”问题

使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．
解题步骤：

第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例3.求证：方程的解是唯一的．
【解析】可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。

证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解，假设这个方程的解不是唯一的，他还有解,则,则.①由假设，得,从而：当时，有②当时，有③

显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立，所以原方程的解是唯一的。

【总结】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.