六种语言求解特征值和特征向量（2022.4.29）
特征值和特征向量求解（2022.4.29）
- 引言
- 1、矩阵的特征值和特征向量
- 2、六种编程语言求解特征值和特征向量代码
-
- 2.1 Matlab代码及运行结果
- 2.2 Python代码及运行结果（Numpy）
- 2.3 C++代码及运行结果(Eigen)
- 2.4 Java代码及运行结果(ujmp)
- 2.5 C#代码及运行结果(MathNet)
- 2.6 R代码及运行结果
- 3、总结
引言
在使用层次分析法（AHP）来确定指标权重时，需要计算二维矩阵的特征值和特征向量，同时特征值和特征向量在计算机图像处理、物理学等领域都要十分重要的应用，下面首先简单介绍其定义和性质，之后利用六种编程语言进行实例求解。
1、矩阵的特征值和特征向量
A = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] A=\left [ \begin{matrix} &a_{11} &a_{12} &... &a_{1n}\\ &a_{21} &a_{22} &... &a_{2n}\\ &... &... &... &...\\ &a_{n1} &a_{n2} &... &a_{nn}\\ \end{matrix} \right ] A=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤ 对于n阶方阵A，若存在数λ和一个n维的非零列向量 x ⃗ \vec{x} x，满足 A x ⃗ = λ x ⃗ A\vec{x}=\lambda \vec{x} Ax=λx，则称 x ⃗ \vec{x} x为矩阵A的对应λ特征值的特征向量，E为单位矩阵（主对角线元素均为1，其余为0）。
一方面， ( λ E − A ) x ⃗ = 0 (\lambda E -A) \vec{x}=0 (λE−A)x=0是包含n个未知数n个方程的齐次线性方程组，相当于存在不全为0的n个数使得矩阵 ( λ E − A ) (\lambda E -A) (λE−A)的列向量线性相关，那么矩阵 ( λ E − A ) (\lambda E -A) (λE−A)非满秩，即 r a n k ( λ E − A ) < n rank(\lambda E -A)
∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E -A|=0 ∣λE−A∣=0
∣ λ E − A ∣ = [ λ − a 11 − a 12 . . . − a 1 n − a 21 λ − a 22 . . . − a 2 n . . . . . . . . . . . . − a n 1 − a n 2 . . . λ − a n n ] = λ n + α 1 λ n − 1 + α 2 λ n − 2 + . . . + α n − 1 λ + α n = 0 |\lambda E -A|=\left [ \begin{matrix} &\lambda -a_{11} &-a_{12} &... &-a_{1n}\\ &-a_{21} &\lambda -a_{22} &... &-a_{2n}\\ &... &... &... &...\\ &-a_{n1} &-a_{n2} &... &\lambda -a_{nn}\\ \end{matrix} \right ]=\lambda^{n}+\alpha_{1}\lambda^{n-1}+\alpha_{2}\lambda^{n-2}+...+\alpha_{n-1}\lambda+\alpha_{n}=0 ∣λE−A∣=⎣⎢⎢⎡λ−a11−a21...−an1−a12λ−a22...−an2............−a1n−a2n...λ−ann⎦⎥⎥⎤=λn+α1λn−1+α2λn−2+...+αn−1λ+αn=0 上式也称为方阵A的特征多项式，此多项式是一个关于参数λ的n次多项式。在复数域内（实数和虚数），n次代数方程有且仅有n个解。那么特征多项式的n个解可设为 λ 1 、 λ 2 、 ⋯ 、 λ n \lambda_{1}、\lambda_{2}、\cdots、\lambda_{n} λ1、λ2、⋯、λn，这些解也称特征根，它们具有如下性质： ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ⋯ ( λ − λ n ) = 0 (\lambda -\lambda_{1})(\lambda -\lambda_{2})\cdots (\lambda -\lambda_{n})=0 (λ−λ1)(λ−λ2)⋯(λ−λn)=0 λ 1 + λ 2 + . . . + λ n = ∑ i = 1 n a i i \lambda_{1}+\lambda_{2}+...+\lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii} λ1+λ2+...+λn=i=1∑naii λ 1 λ 2 ⋯ λ n = ∣ A ∣ \lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=|A| λ1λ2⋯λn=∣A∣
2、六种编程语言求解特征值和特征向量代码
为了求解如下方阵A的特征值和特征向量，下面分别利用Matlab、Python、C++、Java、C#、和R这六种编程语言进行代码实现，同时对比测试结果。
A = [ 3 4 5 10 3 7 1 7 9 2 6 2 4 8 5 2 4 7 1 9 4 12 78 32 65 31 23 16 95 74 36 21 28 49 58 12 18 16 17 34 52 29 2 7 99 31 57 90 83 ] A=\left [ \begin{matrix} &3 &4 &5 &10 &3 &7 &1\\ &7 &9 &2 &6 &2 &4 &8\\ &5 &2 &4 &7 &1 &9 &4\\ &12 &78 &32 &65 &31 &23 &16\\ &95 &74 &36 &21 &28 &49 &58\\ &12 &18 &16 &17 &34 &52 &29\\ &2 &7 &99 &31 &57 &90 &83\\ \end{matrix} \right ] A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡3751295122492787418752432361699106765211731321312834577492349529018416582983⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
2.1 Matlab代码及运行结果
作为工业界和学术界的神器，MathWorks旗下的Matlab备受科研人员、工程师和开发者的喜爱，功能强大且有着“矩阵实验室”称号，在数学运算、图像处理、信号仿真方面有着其他软件无法比拟的计算优势，尽管有时其效率不是太高，但其拥有着毋庸置疑的准确率和精度。
n = 7;
A=[3,4,5,10,3,7,1;
7,9,2,6,2,4,8;
5,2,4,7,1,9,4;
12,78,32,65,31,23,16;
95,74,36,21,28,49,58;
12,18,16,17,34,52,29;
2,7,99,31,57,90,83];
[eigenvector,x] = eig(A);
lambda = diag(x);
fprintf('特征值：');
for i=1:n
if i == n
fprintf(['λ',num2str(i),'= ',num2str(lambda(i)),'\n']);
else
fprintf([' ','λ',num2str(i),'= ',num2str(lambda(i)),' ']);
end
end
for i=1:n
if i == n
fprintf(['特征向量',num2str(i),'\n']);
else
fprintf([' ','特征向量',num2str(i),' ']);
end
end
disp(eigenvector);
Matlab代码运行结果如下图所示：
2.2 Python代码及运行结果（Numpy）
这里利用Python 3.6和numpy依赖库来对矩阵进行特征值和特征向量运算，具体代码如下。
import numpy as np
n = 7
A = np.array([[3,4,5,10,3,7,1],
[7,9,2,6,2,4,8],
[5,2,4,7,1,9,4],
[12,78,32,65,31,23,16],
[95,74,36,21,28,49,58],
[12,18,16,17,34,52,29],
[2,7,99,31,57,90,83]])
print('方阵A：\n{}'.format(A))
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(A)
print('特征值', end='')
for i in range(0, n):
if i == n-1:
print('λ{}={:.4f}'.format(i + 1, eigenvalue[i]))
else:
print('λ{}={:.4f}'.format(i+1, eigenvalue[i]), end=', ')
for i in range(0, n):
if i == n-1:
print(' 特征向量{} '.format(i + 1))
else:
print(' 特征向量{} '.format(i + 1), end=' ')
for i in range(0, n):
for j in range(0, n):
if j == n-1:
print('{:.4f} '.format(eigenvector[i][j]))
else:
print('{:.4f} '.format(eigenvector[i][j]), end=' ')
Python代码运行结果如下图所示：
2.3 C++代码及运行结果(Eigen)
Eigen作为线性代数相关计算的C++模板库广受开发人员的喜爱，下面使用Eigen库来计算矩阵特征值和特征向量，下载eigen-3.4.0后，在VS 2015中将其目录下的Eigen文件夹添加到项目属性的库目录中即可使用。
#include C++代码运行结果如下图所示：
2.4 Java代码及运行结果(ujmp)
这里使用第三方jar包：ujmp-core-0.3.0.jar来实现Java代码，jar包下载地址为ujmp-core-0.3.0.jar，之后在Java项目中需要将其添加到Build Path中，才能在代码中导入。
package com.test;
import java.text.DecimalFormat;
import org.ujmp.core.DenseMatrix;
import org.ujmp.core.Matrix;
import org.ujmp.core.doublematrix.impl.ArrayDenseDoubleMatrix2D;
public class EigenValue_EigenVector
{
public static void main(String[] args)
{
int n = 7;
double[][] a = {{3,4,5,10,3,7,1},
{7,9,2,6,2,4,8},
{5,2,4,7,1,9,4},
{12,78,32,65,31,23,16},
{95,74,36,21,28,49,58},
{12,18,16,17,34,52,29},
{2,7,99,31,57,90,83}};
Matrix A = DenseMatrix.Factory.importFromArray(a);
System.out.print("A:");
System.out.println(A);
Matrix[] eigenValueDecomposition = A.eig();
Matrix eigen_vector = eigenValueDecomposition[0];
Matrix eigen_value = eigenValueDecomposition[1];
double[][] eig_val= eigen_value.toDoubleArray();
double[][] eig_vec= eigen_vector.toDoubleArray();
DecimalFormat decimalFormat = new DecimalFormat("###################.####");
System.out.print("特征值");
for(int i=0;i<n;i++)
{
String val = String.valueOf(decimalFormat.format(eig_val[i][i]));
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(j !=i && eig_val[j][i] != 0)
if(eig_val[j][i] >= 0)
val += "+"+String.valueOf(decimalFormat.format(eig_val[j][i]))+"i";
else
val += String.valueOf(decimalFormat.format(eig_val[j][i]))+"i";
}
System.out.print("λ"+Integer.toString(i+1)+"= "+val+" ");
}
System.out.println();
for(int i=0;i<n;i++)
{
System.out.print(" 特征向量"+Integer.toString(i+1)+" ");
}
System.out.println();
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
System.out.print("\t"+String.valueOf(decimalFormat.format(eig_vec[i][j]))+"\t");
}
System.out.println();
}
}
}
Java代码运行结果如下图所示：
2.5 C#代码及运行结果(MathNet)
这里利用了适用于C#语言的经典数学dll库:MathNet.Numerics.dll，在编写代码时需要将其添加到引用当中，以便在代码中调用其接口。
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Numerics;
using MathNet.Numerics;
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra;
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Double;//必须
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Complex;
using MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Factorization;
namespace SolveMatrixEigen
{
class Program
{
public static void Main(string[] args)
{
Console.WriteLine("Hello，World!");
const int n = 7;
double[,] a = new double[n, n]{{3,4,5,10,3,7,1},
{7,9,2,6,2,4,8},
{5,2,4,7,1,9,4},
{12,78,32,65,31,23,16},
{95,74,36,21,28,49,58},
{12,18,16,17,34,52,29},
{2,7,99,31,57,90,83}};
MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Matrix<double> A = MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Double.DenseMatrix.OfArray(a);
MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Factorization.Evd<double> eigen = A.Evd();
Vector<Complex> Eigen_Value = eigen.EigenValues;//矩阵的特征值
MathNet.Numerics.LinearAlgebra.Matrix<double> Eigen_Vector = eigen.EigenVectors;//矩阵的特征向量
Console.Write("特征值：");
for (int i = 0; i < n; i++)
{
string eigenvalue_i = "";
if(Eigen_Value[i].Imaginary >= 0)
eigenvalue_i = String.Format("{0:F4}+{1:F4}i", Eigen_Value[i].Real, Eigen_Value[i].Imaginary);
else
eigenvalue_i = String.Format("{0:F4}{1:F4}i", Eigen_Value[i].Real, Eigen_Value[i].Imaginary);
Console.Write("λ" + (i + 1).ToString() + "=" + eigenvalue_i+" ");
}
Console.WriteLine();
for (int i = 0; i < n; i++)
Console.Write(" 特征向量{0} ", i + 1);
Console.WriteLine();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
Console.Write(String.Format(" {0:F4} ",Eigen_Vector[i,j]));
Console.WriteLine();
}
}
}
}
C#代码运行结果如下图所示：
2.6 R代码及运行结果
Windows下的R安装包下载，安装成功后出现RGui启动程序，进入后可直接编写脚本代码。
a <- c(3,4,5,10,3,7,1,7,9,2,6,2,4,8,5,2,4,7,1,9,4,12,78,32,65,31,23,16,95,74,36,21,28,49,58,12,18,16,17,34,52,29,2,7,99,31,57,90,83)
A <- matrix(a,7,7)
print("方阵A")
print(A)
ev <- eigen(A)
print("特征值：")
print(ev$values)
print("特征向量：")
print(ev$vectors)
R代码运行结果如下图所示：
3、总结
总的来说，Matlab、Python和R同为脚本语言，可解释性强，易于执行，易于验证，直观高效；而Java、C#和C++都为面向对象的高级编程语言，需要依托主函数才能执行代码，效率较高，计算速度快，但往往需要额外依托第三方库或者自己开发代码来执行矩阵运算。
同时实际测试发现：六种编程语言对特征值的计算都十分准确，但特征向量结果不同，具体不同之处在于：Matlab和Python计算的特征向量结果相同，为复数；Java和C#计算的特征向量结果相同，是实数；C++计算的特征向量结果为复数，但与Matlab和Python的计算结果略有差异；R处理结果相差较大。最终利用Matlab软件验证特征值和特征向量的结果如下图所示。因此，无论利用何种编程语言进行计算，如果对计算结果的精度要求较高，建议与专业软件进行结果比对和相互验证，从而保障计算的准确性，这也告诉我们第三方库也无法保证算法的高度准确，因为它们所采用的计算方式可能有所差异。
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |