指数平滑预测模型
目录
1.分类
2.简单指数平滑
简单指数平滑预测：
平滑系数的确定
R中实现：
3. Holt两参数指数平滑
4. Holt-Winters三参数指数平滑
5.ARIMA加法季节模型
R实现
例题：
1.分类
2.简单指数平滑
简单移动平均法向前预测1期：
缺点:历史信息的权重都为1/n
简单指数平滑预测：
还可写成：
其均值为：
平滑系数的确定
- 一般对于变化缓慢的序列，α常取较小的值
- 对于变化迅速的序列，α常取较大的值
- 经验表明α介于0.05至0.3之间，修匀效果比较好。
例1对某一观察值序列{
},使用简单指数平滑法。已知=10，
= 10.5，平滑系数
=0.25。
(1）求向前预测2期的预测值.
(2）在2期预测值中，前面的系数等于多少。
理论上可以证明简单指数平滑法任意期的预测值都为常数，所以简单指数平滑只适合做1期预测，是常用的平稳序列预测方法,且1期预测以后的值都与1期预测一样，所以只适合短期预测。
R中实现：
例6-4根据1949-1998年北京市每年最高气温序列，采用指数平滑法预测1999-2018年北京市每年最高气温。
a<-read.table('D:/桌面/6_4.csv',,sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$temp,start=1949)
plot(x) #时序图返回：
进行简单指数平滑：
fit<-HoltWinters(x,beta=F,gamma=F)
fit返回：
基于简单指数平滑模型进行5期预测：
library(forecast)
fore1<-forecast(fit,h=5)
fore1返回：
绘制预测效果图：
plot(fore1,lty=2)
lines(fore1$fitted,col='red')返回：
3. Holt两参数指数平滑
使用场合：含有线性趋势的序列进行修匀
模型结构：
两参数修匀：
k期预测：
4. Holt-Winters三参数指数平滑
水平部分，
趋势部分，
季节因子(周期m)，c(t)是t时刻季节指数的无偏估计值
Holt两参数指数平滑:
加法模型：
乘法模型：
k期预测：
两参数预测：
三参数预测：
假设t+k期为季节周期的第j期
例6-1（续)）对1981-1990年澳大利亚政府季度消费支出序列进行Holt-Winters三参数指数平滑进行8期预测。
a<-read.table('D:/桌面/6_1.csv',,sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$x,start=c(1981,1),frequency=4)
plot(x) #时序图
进行三参数指数平滑：
fit<-HoltWinters(x)
fit返回：
8期预测：
library(forecast)
fore<-forecast(fit,h=8)
fore返回：
绘制预测结果：
plot(fore)
lines(fore$fitted,col='red')
返回：
5.ARIMA加法季节模型
季节效应和其它效应之间是加法关系
通过简单的趋势差分、季节差分之后转化为平稳，模型结构通常如下
R实现
在上节的ARIMA函数的基础上多了个参数 seasonal(季节)
例题：
1、我国1949—2008年每年铁路货运量（单位：万吨）数据如习题5-2.csv所示。请选择适当模型拟合该序列，并预测2009—2013年我国铁路货运量。
a<-read.table('D:/桌面/习题5-2.csv',sep=',',header=T) #读取数据
x<-ts(a$transport,start=1949)
plot(x) #时序图
返回：
由时序图得，该序列有明显趋势，所以为非平稳序列，要对其进行1阶差分：
diff1<-diff(x)
diff1返回：
对1阶差分绘制时序图：
plot(diff1)
返回;
由时序图可得，差分后序列的值基本围绕在0附近，已经没有明显的趋势特征
平稳性检验：
# ADF检验
library(aTSA) #aTSA导入程序包
adf.test(diff1) #平稳性检验返回：
检验结果显示，该序列所有 ADF 检验统计量的 P 值均小于显著性水平（α=0.05），所以可以确定 1 阶差分后系列实现了平稳。
纯随机性检验：
for(i in 1:2)print( Box.test(x,type='Ljung-Box',lag=6*i)) #延迟6到12期的检验
返回：
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 209.55, df = 6, p-value < 2.2e-16
Box-Ljung test
data: x
X-squared = 292.47, df = 12, p-value < 2.2e-16
根据随机性检验结果显示 6 阶和 12 阶延迟的统计量的 P 值都小于显著性水平（α=0.05）， 所以可以判断该系列为平稳非白噪声序列
自相关系数和偏自相关系数：
acf(diff1,main='自相关图') #绘制自相关图
pacf(diff1,main='偏自相关图') #绘制偏自相关图
返回：
由自相关图和偏自相关图显示，该序列具有自相关图拖尾、偏自相关图1阶截尾的特征，故尝试使用 AR (1)模型拟合 1 阶差分后序列，又因为前面进行了1阶差分，所以可以用ARIMA(1,1,0)进行拟合。
ARIMA(1,1,0) 模型拟合：
fit1<-arima(x,order=c(1,1,0))
fit1返回：
Call:
arima(x = x, order = c(1, 1, 0))
Coefficients:
ar1
0.6589
s.e. 0.0985
sigma^2 estimated as 58008959: log likelihood = -611.35, aic = 1226.69
则可得模型解析式为：
模型检验：
ts.diag(fit1)返回：
由图可知，拟合模型效果很好。
进行预测：
library(forecast) #导入库
fore1<-forecast::forecast(fit1,h=5)
fore1
plot(fore1)
lines(fore1$fitted,col=4)
返回：
预测结果：
对预测结果绘制时序图：
2、1867—1938年英国（英格兰及威尔士）绵羊数量如习题5-5.csv所示。
（1）确定该序列的平稳性；
（2）选择适当模型拟合该序列的发展；
（3）利用拟合模型预测1939—1945年英国绵羊的数量。
b<-read.table('D:/桌面/习题5-5.csv',sep=',',header=T) #读取数据
y<-ts(b$sheep,start=1867)
plot(y) #时序图
由时序图得，该序列有明显趋势，所以为非平稳序列
对其进行1阶差分：
diff2<-diff(y)
plot(diff2) #对1阶差分绘制时序图
由时序图可得，差分后序列的值基本围绕在0附近，已经没有明显的趋势特征
平稳性检验：
library(aTSA) #aTSA导入程序包
adf.test(diff2) #平稳性检验
检验结果显示，该序列所有 ADF 检验统计量的 P 值均小于显著性水平（α=0.05），所以可以确定 1 阶差分后系列实现了平稳。
纯随机性检验：
for(i in 1:2)print( Box.test(y,type='Ljung-Box',lag=6*i)) #延迟6到12期的检验
返回：
Box-Ljung test
data: y
X-squared = 210.63, df = 6, p-value < 2.2e-16
Box-Ljung test
data: y
X-squared = 265.32, df = 12, p-value < 2.2e-16
根据随机性检验结果显示 6 阶和 12 阶延迟的统计量的 P 值都小于显著性水平（α=0.05）， 所以可以判断该系列为平稳非白噪声序列
自相关系数和偏自相关系数：
acf(diff2,main='自相关图') #绘制自相关图
pacf(diff2,main='偏自相关图') #绘制偏自相关图
由自相关图和偏自相关图显示，该序列具有自相关图拖尾、偏自相关图3阶截尾的特征，故尝试使用 AR(3)模型拟合 1 阶差分后序列，考虑到前面已经进行的 1 阶差分运算，所以可以用ARIMA(3,1,0)进行拟合。
ARIMA(3,1,0) 模型拟合：
fit2<-arima(y,order=c(3,1,0))
fit2返回：
则可得模型解析式为：
模型检验：
ts.diag(fit2)
由图可知，拟合模型效果很好。
进行预测：
library(forecast) #导入库
fore2<-forecast::forecast(fit2,h=9)
fore2
plot(fore2)
lines(fore2$fitted,col=4) 
