多面体编译基础（一）-- 从代码语法到多面体表示

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声明

本系列文章翻译自俄亥俄州立大学计算机科学与工程系Louis-Noël Pouchet教授Polyhedral Compilation Foundations课程的课件，对课件内容酌情筛选，并增加一些个人的内容，如存在错误或待争议部分，望各位同行（大佬）指正。

文章格式标准：

1. 文章中出现的程序代码默认为C/C++格式

符号表

 

为什么要学习多面体编译

 

课程简介

学习目标

1. 学会多面体编译技术中涉及到的基本数学概念。
2. 建立对某些重要数学结论的记忆。
3. 了解多面体便以技术的原理。

多面体程序优化三步走战略

1. 分析：从代码到模型
2. 模型变换
3. 代码生成：从模型到代码

上述过程可概括为：从实例到规律，再从规律到实例。

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本章内容

1. 凸集（Convexity Set）

2. 多面体（Polyhedra）

3. 晶格（Lattices）

一、迭代域的几何表示

1.1 启发例子

先看一看如下所示的嵌套循环：

for (i = 0; i < 3; ++i)
    for (j = 0; j < 3; ++j)
        A[i][j] = i * j;

上述代码段的指令执行过程为：

1. A[0][0] = 0 * 0;
2. A[0][1] = 0 * 1;
3. A[0][2] = 0 * 2;
4. A[1][0] = 1 * 0;
5. A[1][1] = 1 * 1;
6. A[1][2] = 1 * 2;
7. A[2][0] = 2 * 0;
8. A[2][1] = 2 * 1;
9. A[2][2] = 2 * 2;

通过观察上述指令执行过程我们可以得到一些规律：

• 数组A的赋值语句被执行了9次
• 每次给A赋值时数组索引i、j都不同
• 语句的执行是存在顺序的

那么我们目标即为找到能够适当描述上述三个规律的模型。

1.2 迭代域（Iteration Domain）

迭代域是一种由迭代向量构成的集合（或线性空间），在上面的例子中，对于数组元素A[i][j]，迭代向量可表示如下：

其中，S的含义为（Statement），表示用于迭代的语句；i，j皆表示迭代索引。在定义迭代向量后，我们可以通过构造线性不等式组来描述上面例子对应的迭代空间：

我们观察到上面的例子中i、j在迭代中的取值范围分别为：

，

改写为向量形式，得：

，

合并上述两项，得到完整的不等式组：

该不等式组即表示了上面例子中的迭代域，该迭代域是一个二维多面体，也是一个凸集，画在二维平面坐标系上如下图所示：

示例迭代域

二、凸集

2.1 凸集定义

设S为n维实数域上的一个集合，S为凸集当且仅当且给定都有

通俗地说，就是在S上任意两点之间画一条线段，若该线段上的每一点都在S集内，则S为凸集。

2.2 凸组合定义

设S为一凸集，对任意的向量，以及任意一组非负数满足，那么令：

则为的凸组合。

三、仿射

3.1 仿射函数

函数为仿射函数（线性映射）仅当存在向量和矩阵且满足：

3.2 仿射半空间

仿射半空间（仿射约束）定义为以下集合：

在一个空间中，超平面将该空间分割为两个半空间，而超平面的表达式为：

它表示的是一个m维空间中的m-1维平面。

四、多面体

4.1 多面体定义

集合是一个多面体仅当存在一组有限个数的不等式如下：

在上面的例子中：

注意：英语中的“Polyhedron”与“Polytope”不同，“Polyhedron”泛指多面体，而“Polytope”特指有界多面体。

4.2 Z-多面体（整多面体）

这是一种所有顶点都为整数的多面体。

4.3 整数包（Integer Hull，不知道正式中文名是什么，我翻译成“整数包”）

一个有理多面体（所有顶点都是有理数的多面体）P的整数包是在P内所有整数点的集合。

4.4 多面体的二重表示法（Dual Representation）

二重表示法是一种结合线段L（lines）、射向R（Rays）和顶点（Vertices）的多面体表示法，其形式如下：

4.5 表面（Face）

多面体P的表面F定义为P的交叉超平面，满足：

其中，dim(F)表示F的维度。

4.6 侧面（Facet）

多面体P的侧面F是一种特殊的表面，侧面满足：

侧面的维度总是比多面体小1。

4.7 多面体分解基本定理

若P为多面体，则它可被拆分为有界多面体V与多面体锥（Polyhedral Cone）L之和。

4.8 参数化多面体

设为符号参数向量，P为准多面体，定义如下：

4.9 凸集的交（Intersection）、和（Union）

两个凸集与的交集P定义如下：

借助作图易证P也是凸集。

凸集交

两个凸集与的和P定义如下：

借助作图可以轻易地看出P不一定为凸集。

凸集和

五、晶格（Lattices）

称n维有理数空间中的一个子集L为晶格仅当L由有限个向量整体组合而成：