图论中的GLM模型

下面是我对GLM模型的理解：

数据编码的方式

在一般统计中，常用的coding方式有dummy，effect和cell.mean，这个在R和python中都可以实现。

dummy coding 举例

假设有4个组别A, B, C, D，它的自由度是4-1=3，因此它可以用3个不同位置的1来编码代表4个组（有一个组作为reference组，其编码全为0）.
假设如下的表格数据：

把g4组作为参考组，使用dummy coding转换后如下：

如此以后，进行F检验，得到的值，其截距就是参考组的平均值。而其他系数就是其均值差，例如-2=8-10，-7=3-10等等。

这个在python中就是独热编码过程。
R中就是如下：

effect coding 举例

还是考虑上述数据，使用effect coding转换后如下：

同样以g4组为参考组，所以能够看出，effect coding 和 dummy coding的区别在于，前者参考组为[-1, -1, -1]的矩阵，后者参考组为[0, 0, 0]的矩阵，其他就没有区别。

在effect coding后，算出来的截距是所有组平均值的平均值，即 $\overline{y}$ （等于5）。这个时候每组的coef，是其组的平均值和所有值的总平均值（constant值）的差值，即-3=2-5, -2=3-5。
不平衡的数据使用effect coding的注意事项


不平衡数据算出来的截距，是所有组平均值的平均值，而不是所有观察值的平均值。在这个数据中，一共有12个观察值，把12个值相加除以12，其平均值是5.5。而若把每一组进行组内平均，再把所有组的平均值进行平均，得到的值就是5.25，也就是F检验中的截距。
这个是需要注意和记住的地方。通过这个例子，也会对参数检验中对比均值的F检验有一个更为深刻的认识，即不管数据平衡与否，它只比较每组的平均值有无差异。很好用。
如何选择dummy coding和effect coding，两者区别？
如果模型中有多个分类变量，dummy coding 和 effect coding没有区别，只需要注意截距和系数的意义就行。
但是如果只有2种分类变量，dummy coding （编码0）和effect coding（编码-1）是有区别的，即effect coding的编码方式可以分析两个变量的交互效应。原理：设想一下，当分类变量只有2个时，比如病人组和健康人组，那么使用dummy coding只有1和0，而使用effect coding 有1和-1，中间还有0态，所以effect coding可以分析交互作用。因此这个时候使用effect coding可以获得对简单效应和交互效应的合理估计。
仔细回想一下，FSL的FEAT模块就是通过上述的方式去编码matrix design的。
R中如下:

fastLmBG (fast lm brain graph) solve the least squares problem to estimate model coefficients, residuals, etc. for brain network data.
fastLmBG_t and fastLmBG_f calculate contrast-based statistics for T or F contrasts, respectively. It accepts any number of contrasts (i.e., a multi-row contrast matrix).

cell means coding 举例

SPM里的2-nd-level comparison就是cell means coding方法，这个方法只用于组别为2的数据。
因为只有2个组，所以不需要设置参考组，所以就是用[1, 0]和[0, 1]来表示两个组，然后design matrix对应着就是1-0=1和0-1=-1。
与上述两个方法相比，这个是对比均值差异，没有设置参考组，较为简单。

1. 单元格均值模型仅用于使估计语句中的对比更易于编写的目的。唯一考虑的输出部分是与对比度估计相关的部分（这通常位于输出的底部）。
2. 用单元格编写估计语句意味着模型更容易，因为它只包含一个向量（用于最高阶交互）。使用分析模型，同一对比度的估计语句可能包含多个向量和/或矩阵，因此更难以正确指定。
   在R中的实现：
   
   model.matrix是R自带的base函数，可以实现dummy和cell means coding，前者就是常规的 $y——group$，后者是 $y——group+0$。
   brainGraph_GLM_design是brainGraph包的函数，其中coding方式可以选择dummy，cell meaning 和 effects三种方式。

图论中的常用指标

图的常用指标

顶点的常用指标

边的常用指标

以上这些指标还可以加入.wt来查看weighted值和非weighted值（binary）。

GLM实例

我们在创建图的时候，常规会使用50个阈值【0.10，0.11.。。0.49，0.50】去生成图，DPABI和GRETNA设置的阈值参数会有些许差异，但是过程都是一样。
在GLM分析中，我们只能在单一阈值下去使用GLM模型去比对单一指标。在使用GLM比较时，一共有2步需要做。第一是创建design matrix，第二是根据design matrix进行GLM统计分析。（整个过程跟FSL的FEAT一模一样，可以相互参考）

以我现在手头的数据为例，我的数据是34：37的数量，healthy group和patient group。

两组比较-不考虑混淆因素

（1）首先是基础组别信息

（2）根据组别信息创建design matrix

CompareMatrix <- matrix(c(0, -2), nrow = 1, dimnames = list('Control > Patient'))

（3）根据design matrix，进行GLM分析

上面是单侧的分析。其实双侧的分析与上面同理，比较简单，双侧分析如下：

比较好的一点是，它会告诉FDR校正的结果。

两组比较-考虑混淆因素

值得注意的是，有多少变量，CompareMatrix就要有多少列，函数会自动把group放到最后作为对比。

两组比较-考虑交互效应

如果要考虑交互效应，那么在design matrix时就与上述描述有点区别

计算group与连续变量交互的效应

连续变量大家应该清楚，分类变量是变量没有大小意义，连续变量是变量呈现连续表现，有大小意义。
以年龄举例，假如要做年龄和组别的交互效应：
（1）Base Information

（2）design matrix

这里用的cellmeans编码方法，所以分为了两组，如果是effect编码，就是一组变量。
数据的标准化有好几种，常用的有：中心化，标准化和归一化。

1. 归一化：$x=(x-min)/(max-min)$
2. 标准化：$x=(x-mean)/standarddeviation$
3. 中心化：$x=x-mean$
   R语言中自带scale函数，中心化使用scale (x, center=T, scale=F)，标准化使用scale (x, center=T, scale=T)，归一化没有现成的函数，因为太简单了，自己编写+lappy批量处理就行。
   这里的mean…center就是中心化处理，并且是cross group。如果要限定组内，就要center.how=‘within-group’，但是一般不建议这样处理，除非你有特殊需求。因为介绍到这里了，所以把附带的知识点也提了下。
   然后int就是interaction，交互的变量，这里我做的就是group 和 age。
   （3）compare matrix
   
   （4）GLM拟合
   

计算group与分类变量交互的效应

（1）Base Information


（2）Design Matrix

（3）compare matrix
（4）GLM

置换检验实例

GLM模型和置换检验是fMRI中最常用的两种假设统计模型。虽然现实来讲，T检验和方差分析是我们常用的，但是经常会被质疑统计效应不够，而使用GLM和置换检验就不太会出现这类问题。