高数 第一章 函数与极限

一、函数

1.函数的概念

定义

注1-1

注1-2

注1-3

2.函数的几种特性

① 函数的有界性

定义

注

② 函数的单调性

定义

③ 函数的奇偶性

定义

注

(3) 偶函数图形关于Y轴对称，奇函数图形关于原点对称。

3.反函数

定义

注

4.复合函数

定义

5.初等函数

定义

二、数列的极限

1.极限的定义

定义

2.收敛数列的性质

性质1（极限的唯一性） 如果数列{Xn}收敛，那么它的基线唯一。
性质2（收敛数列的有界性） 如果数列{Xn}收敛，那么数列{Xn}一定有界。
性质3（收敛数列的保号性） 如果lim n->♾ Xn=a,且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时， 都有Xn>0（或Xn<0）。
推论 如果数列{Xn}从某项起有Xn>=0（或Xn<=0），且lim n->♾ Xn=a，那么a>0（或a<0）。
性质4（列与子列的关系） 如果{Xn}收敛与a，那么它的任一子数列基线也都是a。
注： 在数列{Xn}中任任意抽取无限多项并保存这些项在原来的数列{Xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{Xn}的子数列（或子列）。

三、函数的极限

一组基本概念：

基本概念

1.函数极限的定义

定义1

单侧极限与定理1

定义2

单侧几线与定理2

2.函数极限的性质

性质1

性质2

性质3和推论

性质4

四、无穷小与无穷大

1.无穷小

定义

定理

2.无穷大

定义

定理

五、极限的运算法则

定理1

定理2

六、极限的存在准侧 两个重要极限

1.夹逼准则

夹逼准则

2.单调有界准则

单调有界准则

3.两个重要极限

两个重要极限

4.幂指函数极限运算法则

幂指函数几线运算法则

七、无穷小的比较

1.高阶、低阶、同阶、等价及阶的概念

概念

注

2.无穷小的有关基本定理

定理

无穷小等价代换1

无穷小等价代换2

无穷小等价代换3

无穷小等价代换4

注： 等价代换只能在乘除中使用，在乘除中的一个整体才可以等价代换（加减中的部分乘除是不可使用的），例如：lim x->0 (x-sinx*cosx)/x，其中的sinx无法替换成x，因为不是一个整体

八、函数的连续性与间断点

1.函数的连续性

定义

定义

2.函数的间断点

函数的间断点

3.间断点的分类

间断点的分类

4.连续函数的保号性

连续函数的保号性

九、连续函数的运算与初等函数的连续性

1.连续函数的运算法则

①连续函数的四则运算

连续函数的四则运算

②复合函数的连续性

复合函数的连续性

③反函数的连续性

反函数的连续性

2.初等函数的连续性

初等函数的连续性

十、闭区间上连续函数的性质

1.有界性与最大值最小值定理

定理1

定理2

定理3

推广