概率题

已知某事件发生的概率为p，则要让该事件发生所需的试验次数期望值为1/p

已知事件A发生的概率为p，
试验1次，事件A就发生的概率为p，
试验2次，事件A才发生的概率为p·(1-p)，
试验3次，事件A才发生的概率为p·(1-p)^2，
...
试验k次，事件A才发生的概率为p·(1-p)^(k-1)。
试验次数的期望
E = sigma(k = 1~无穷大) k·p·(1-p)^(k-1)
E = p + 2p(1-p) + 3p(1-p)^2 + ... + kp(1-p)^(k-1)

记 S = 1 + 2(1-p) + 3(1-p)^2 + ... + k(1-p)^(k-1)，
(1-p)S = S - PS = (1-p) + 2(1-p)^2 + 3(1-p)3 + ... + (k-1)(1-p)^(k-1) + k(1-p)^k，

所以，
pS = 1 + (1-p) + (1-p)^2 + (1-p)^3 + ... + (1-p)^(k-1) - (1-p)^k = [1-(1-p)^k] / (p^2)

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当k趋向于无穷大时，S = 1/(p^2)，
所以，E = 1/p。