浅谈01分数规划

• 对于形如求使得 $\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$ 最值的问题 , 称为 $01$ 分数规划 (选择一些 $a$ 和 $b$ 使得其某两属性之和的商取到最值)

• 此题一般解法为二分答案求出最大最小值

• 假如我们要求最大的 $\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$

  $ans=\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$ 也就是 $\sum (a_i-ans\ast b_i)=0$

  当前二分的答案为 $mid$

  如果 $\sum (a_i-mid\ast b_i)\ge 0$ , 那么 $mid\le ans=\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$ , 说明 $mid$ 可行 , 放大范围

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• 例题1

  题意：每个物体 $i$ 有两个属性 $a_i,b_i$ , 选 $n-k$ 个 , 求最大的 $\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$

  把 $(a_i-mid\ast b_i)$ 变成这些物体的新属性 $c_i$ , 而问题没有其他限制 , 直接选 $c$ 最大的 $n-k$ 个 , 然后根据上文所述进行二分

  代码

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• 例题2

  题意：每个点有两个属性 $a_i,b_i$ , 在树上选 $n-m$ 个点 , 要求他们之间联通 , 求最大的 $\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$

  把 $(a_i-mid\ast b_i)$ 变成这些物体的新属性 $c_i$, 问题就变为了在树上选一些点且要求联通, 使得其 $c$ 之和大于等于 $0$ , 那么满足最大的 $\sum c$ 大于等于 $0$ 即可

  代码

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• 例题3

  题意 ：每头牛有两个属性 $t_i,w_i$ , 选任意头 , 要求 $\sum w_i\ge W$ , 求最大 $\frac{\sum t_i}{\sum w_i}$

  若 $\sum (t_i-mid\ast w_i)\ge 0$ 则 $ans\ge mid$

  $(t_i-mid\ast w_i)$ 作为新属性 $x_i$ , 要求 $\sum w_i\ge W$ , 若此时最大的 $\sum x_i\ge 0$ 则放大

  至于如何求最大的 $\sum x_i$ 并满足 $\sum w_i\ge W$ , 其实就是一个背包问题

  代码

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• 例题4

  题意 : $n$ 个点 , 有 $m$ 条单向边 , 每条边有两个属性 $c,w$ , 要求选择的边构成一棵树 , 求最大的 $\frac{f-\sum c_i}{\sum t_i}$ ( $f$ 给定)

  $ans=\frac{f-\sum c_i}{\sum t_i}$

  若 $\sum (mid\ast t_i+c_i)\le f$ , 那么 $mid\le ans$ 放大 $mid$

  把 $(mid\ast t_i+c_i)$ 变成一条道路的新属性 $x_i$ , 而问题要求联通 , 实则是最小生成树问题.

  代码

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• 例题5

  题意：给定一张带权有向图 , 边的权值为 $w$ , 选若干条边构成环 , 求最小的 $\frac{\sum w_i}{边的个数}$

  $ans=\frac{\sum w_i}{\sum cn{t}_i}$ $(cn{t}_i=1)$

  若 $\sum (w_i-mid)<0$ 说明 $mid>ans$ , 则继续缩小范围

  把 $(w_i-mid)$ 变成一条边的新边权 , 问题即变为判断负环 , 考虑使用 $SPFA$

  代码

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例题6
题解