[NOI2010]超级钢琴 题解

NOI超级钢琴

题意：给定序列，求前 $k$ 大长度为 $[L,R]$ 的子段和的和

• 我们将子段和求出来之后，取前 $k$ 大即为答案所求，可以用堆维护

• 问题在于如何求子段和

• 若 $i$ 为左端点，那么右端点一定在 $[i+L-1,i+R-1]$ 内

• 若我们要求使得以 $i$ 为左端点子段和最大的右端点 $x$，即求最大的 $sum(x)-sum(i-1)$ （$sum$ 表示前缀和），相当于求最大的 $sum(x)$ ，即求区间 $[i+L-1,i+R-1]$ 最大的 $sum$

  定义 $query(left,right)$ 右端点在 $[left,right]$ 中，求使 $sum$ 最大的位置 $x$，$[i,x]$ 产生的贡献即为 $sum(x)-sum(i-1)$

• 而仅仅维护最大的是不够的，我们最终需要前 $k$ 大，因此我们需要将所有可能对答案有贡献的子段都维护出来，直到满足数量 $k$ 个

如图，在求出 $x$ 之后，根据 $x$ 分裂成两个区间，这两个区间的最大子段位置 $x1=query(left,x-1)$ 以及 $x2=query(x+1,right)$ 子段 $[i,x1]$ 和 $[i,x2]$ 可能会对答案产生贡献（相当于求以 $i$ 为左端点的次大以及次次大，两者一定小于 $[i,x]$ 的子段产生的贡献）

如何维护

• 我们发现将一个区间分裂成两个区间需要知道该区间的 $left$，$right$，以及最大位置 $x$。 同时，为了维护某一位置产生的值 $val=(sum(x)-sum(i-1))$，还需要知道区间左端点 $i$
• 因此对于一个区间，我们维护他的 $i,left,right,x,val$

整体做法

• 先枚举 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 所有作为左端点，求出最大位置，放入堆中
• 在堆中进行 $k$ 轮操作，每次取最大值，将其踢出堆，同时加入两个分裂的区间

#include
using namespace std;
const int MAXN=5e5+5;
int n,k,L,R,sum[MAXN];
int st[MAXN][20];
void build()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) st[i][0]=i;
	for(int j=1;j<=log2(n);j++)
	{
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		{
			int x=st[i][j-1], y=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
			st[i][j]= (sum[x]>sum[y]) ? x : y;
		}
	}
}
int query(int l,int r)
{
	int t=log2(r-l+1);
	int x=st[l][t], y=st[r-(1<<t)+1][t];
	return (sum[x]>sum[y]) ? x :y; 
}
struct Node{
	int id,left,right,pos,val;
	bool operator < (const Node &x)const{
		return x.val>val;
	}
};
priority_queue <Node> q;
int main()
{
	cin>>n>>k>>L>>R;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>sum[i], sum[i]+=sum[i-1];
	build();
	for(int i=1;i+L-1<=n;i++)
	{
		int left=i+L-1, right=min(n,i+R-1), x=query(left,right);
		q.push((Node){i,left,right,x,sum[x]-sum[i-1]});
	}
	long long ans=0;
	while(k--)
	{
		Node hd=q.top(); q.pop();
		ans+=hd.val;
		if(hd.pos>hd.left)
		{
			int i=hd.id, left=hd.left, right=hd.pos-1, x=query(left,right);
			q.push((Node){i,left,right,x,sum[x]-sum[i-1]});
		}
		if(hd.pos<hd.right)
		{
			int i=hd.id, left=hd.pos+1, right=hd.right, x=query(left,right);
			q.push((Node){i,left,right,x,sum[x]-sum[i-1]});
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}