证明实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同的正负惯性指数

充分性：

设X,Y是两个实对称矩阵,设他们有相同的惯性指数,则X、Y有相同的规范式A,即存在可逆矩阵C、P使得C'XC=A、P'YP=A即(P^-1)'C'XC(P^-1)=[C(P^-1)]'X[(p^-1)C]=Y,所以X、Y合同.

必要性：

设X,Y是两个合同的实对称矩阵,即C'XC=Y；有Y与其规范式A合同,即P'YP=A.

所以P'(C'XC)P=A,即(CP)'X(CP)=A,此即表示X也合同于规范式A.所以X、Y有相同的规范式,即有相同的正负惯性指数.