特征值分解和奇异值分解

特征值分解

特征值分解是将一个方阵A分解为如下形式：
$$A=Q\Sigma Q^{-1}$$
其中，Q是方阵A的特征向量组成的矩阵，$\Sigma$是一个对角矩阵，对角线元素是特征值。

通过特征值分解得到的前N个特征向量，表示矩阵A最主要的N个变化方向。利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换） 。

奇异值分解

奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不仅可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。 它能适用于任意的矩阵的分解。

SVD是将m*n的矩阵A分解为如下形式：
$$A=US{V}^T$$
其中，U和V是正交矩阵，即$U^{T}U=I,V^{T}V=I$，U是左奇异矩阵，$UϵR^{m\times m}$，S是$m\times n$的对角阵（对角线上的元素是奇异值，非对角线元素都是0），$V^T$右奇异向量，$VϵR^{n\times n}$。

特征值用来描述方阵，可看做是从一个空间到自身的映射。奇异值可以描述长方阵或奇异矩阵，可看做是从一个空间到另一个空间的映射。

奇异值和特征值是有关系的，奇异值就是矩阵$A\ast A^T$的特征值的平方根。

步骤

输入：样本数据

输出：左奇异矩阵，奇异值矩阵，右奇异矩阵

1. 计算特征值：特征值分解$A{A}^T$，其中$AϵR^{m\times n}$为原始样本数据
   $$A{A}^T=U\Sigma {\Sigma }^T{U}^T$$
   得到左奇异矩阵$UϵR^{m\times m}$和奇异值矩阵${\Sigma }^{{}^{\prime }}ϵR^{m\times m}$

2. 间接求部分右奇异矩阵：求$VϵR^{m\times n}$

   利用$A=U{\Sigma }^{{}^{\prime }}{V}^{{}^{\prime }}$可得
   $$V^{{}^{\prime }}=(U{\Sigma }^{{}^{\prime }}{)}^{-1}A=(\Sigma {)}^{-1}{U}^{T}A$$

3. 返回$U,{\Sigma }^{{}^{\prime }},V^{{}^{\prime }}$，分别为左奇异矩阵，奇异值矩阵，右奇异矩阵。

python实现

调用eig和svd方法

import numpy as np

data = np.array([[1, 0, 4], [2, 2, 0], [0, 0, 5]])  # 数组
# 调用np.linalg.eig（）对data*data'进行特征值分解
eig_value, eig_vector = np.linalg.eig(data.dot(data.T))
# 将特征值降序排列
eig_value = np.sort(eig_value)[::-1]
print("特征值：", eig_value)  # 特征值
print("特征值的平方根：", np.sqrt(eig_value))  # 特征值的平方根

# 调用np.linalg.svd（）对data进行奇异值分解
U, S, V = np.linalg.svd(data)
# 降到两维，计算U*S*V 结果应该和data几乎相同
recon_data = np.round(U[:,:2].dot(np.diag(S[:2])).dot(V[:2,:]), 0).astype(int)
print("奇异值：", S)  # 奇异值
print("data:\n",data)
print("U*S*V的结果:\n",recon_data)

从结果上验证了奇异值就是矩阵$A\ast A^T$的特征值的平方根。结果如下：

特征值： [41.44423549  8.26378188  0.29198263]
特征值的平方根： [6.43771974 2.87467944 0.54035417]
奇异值： [6.43771974 2.87467944 0.54035417]
data:
 [[1 0 4]
 [2 2 0]
 [0 0 5]]
U*S*V的结果:
 [[1 0 4]
 [2 2 0]
 [0 0 5]]

按SVD原理实现

import numpy as np

# 1.调用np.linalg.eig（）计算特征值和特征向量
eig_val, u_vec = np.linalg.eig(data.dot(data.T))
s_val = np.sqrt(eig_val)  # 奇异值：是特征值的平方根
# 将向量u_vec对应排好序
s_val_sort_idx = np.argsort(s_val)[::-1]
u_vec = u_vec[:, s_val_sort_idx]
# 奇异值降序排列
s_val = np.sort(s_val)[::-1]
# 2.计算奇异值矩阵的逆
s_val_inv = np.linalg.inv(np.diag(s_val))
# 3.计算右奇异矩阵
v_vec = s_val_inv.dot((u_vec.T).dot(data))

# 降到两维，计算U*S*V 结果应该和data几乎相同
recon_data = np.round(u_vec[:,:2].dot(np.diag(s_val[:2])).dot(v_vec[:2,:]),0).astype(int)
print("左奇异矩阵U:\n", u_vec)
print("奇异值Sigma:\n", s_val)
print("右奇异矩阵V:\n", v_vec)
print("data:\n",data)
print("U*S*V的结果:\n",recon_data)

运行结果

左奇异矩阵U:
 [[ 0.63464303 -0.12919086  0.76193041]
 [ 0.03795231 -0.97952798 -0.19769816]
 [ 0.77187295  0.15438478 -0.61674751]]
奇异值Sigma:
 [6.43771974 2.87467944 0.54035417]
右奇异矩阵V:
 [[ 0.11037257  0.01179061  0.99382034]
 [-0.72642772 -0.68148675  0.08876135]
 [ 0.67832195 -0.73173546 -0.06665242]]
data:
 [[1 0 4]
 [2 2 0]
 [0 0 5]]
U*S*V的结果:
 [[1 0 4]
 [2 2 0]
 [0 0 5]]

基于SVD的图像压缩

基于SVD图片压缩: ：图片其实就是数字矩阵，通过SVD将该矩阵降维，只使用其中的重要特征来表示该图片从而达到了压缩的目的。

path = 'Andrew Ng.jpg'
data = io.imread(path,as_grey=True)
print(data.shape)
data = np.mat(data)  # 需要mat处理后才能在降维中使用矩阵的相乘
U, sigma, VT = np.linalg.svd(data)
count = 30  # 选择前30个奇异值
# 重构矩阵
dig = np.diag(sigma[:count])  # 获得对角矩阵
# dim = data.T * U[:,:count] * dig.I # 降维 格外变量这里没有用  dig.I：是求dig的逆矩阵
redata = U[:, :count] * dig * VT[:count, :]  # 重构后的数据

plt.imshow(data, cmap='gray')  # 取灰
plt.title("原始图片")
plt.show()
plt.imshow(redata, cmap='gray')  # 取灰
plt.title("基于SVD压缩重构后的图片")
plt.show()

原图片为720x1080，保存像素点值为720x1080 = 777600，使用SVD算法，取前30个奇异值则变为（720+1+1080）*30=54030，达到了几乎15倍的压缩比，极大的减少了存储量。

结果如下

附录

方阵

方阵：是一种特殊的矩阵。方阵是n*n的矩阵

特征值和特征向量

设A是n阶方阵，若存在n维非零向量$v$，使得
$$Av=\lambda v$$
则称常数$\lambda$为A的特征值，$v$为A的对应于$\lambda$的特征向量。

np.diag()

np.diag(array)参数说明：

array是一个1维数组时，结果形成一个以一维数组为对角线元素的矩阵；

array是一个二维矩阵时，结果输出矩阵的对角线元素

import numpy as np

# 输入是1维数组时，结果形成一个以一维数组为对角线元素的矩阵
data_1 = np.array([1,2,3])
print("输入是1维数组时的结果：\n",np.diag(data_1))

# 输入是二维矩阵时，结果输出矩阵的对角线元素
data_2 = np.array([[1,0,4],[2,2,0],[0,0,5]])
print("输入是2维数组时的结果：\n",np.diag(data_2))

运行结果

输入是1维数组时的结果：
 [[1 0 0]
 [0 2 0]
 [0 0 3]]
输入是2维数组时的结果：
 [1 2 5]

相关链接

SVD分解原理
机器学习实战–SVD
机器学习实战——SVD（奇异值分解）