数学建模（2）Topsis

数学建模（2）Topsis

逼近理想解、优劣解距离法

指标正向化

所有指标都要改成极大型指标

极小型指标：
$$max-x$$

中间型指标：$x_{best}$是最优的
$$M=max\{|x_i-x_{best}|\}$$
$$x_i=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$$

区间型指标：在[a,b]之间是最优的
$$M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i-b\}\}$$
$$\{$$

$$x_i=\{\begin{array}{c}1-\frac{a-x}{M};x<a\\ 1；a\le x\le b\\ 1-\frac{x-b}{M};x>b\end{array}$$

标准化

$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$

求优劣距离

构造计算评分的公式：

$$\frac{x-min}{max-min}$$

可以看作

$$\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}$$

即

$$\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离}$$

这里直接计算欧式距离：

$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_{-}^{+}-z_{ij}{)}^2}$$

$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_{-}^{-}-z_{ij}{)}^2}$$

计算得分：

$$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{-}+D_i^{+}}$$

$S_i$越大，得分越高