Slam笔记-李群与李代数

4.1.1 什么是群？

旋转矩阵R对加法是不封闭的，意思是，对于任意旋转矩阵 、，按照矩阵加法对它俩做加法运算，结果不是一个旋转矩阵，它没有意义:

旋转矩阵只有乘法运算有意义，所以把这种只有一种有意义运算的集合称为群(Group)。
我们把 集合记作 A，运算记作 ·，则 ，它满足以下几个条件：

1. 封闭性：
2. 结合律：
3. 幺元：
4. 逆：

常见的群有 数加法 (Z, +)，但它不属于 李群。
李群 是指具有连续性质的群。

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4.1.2 李代数的引出

对于任意旋转矩阵 R, 它满足 , 如果 随时间变化，则有时间的函数 ，且依然满足：

对上式求导得：

整理得：

可知， 是一个反对称矩阵。
对于一个反对称矩阵，可以找到一个向量，使得 ，也可以表示为 .
所以我们把 表示为：

等式两边右乘 ，得：

所以：对 求导，只需左乘一个 即可。

当 时，，设 ，可得：

我们可以看到，旋转矩阵 与另一个反对称矩阵 通过指数关系发生了联系。

结论与问题：
(1) 给定某个时刻的 , 可以求得一个 , 描述了 在局部的导数关系。我们称 是对应到 SO(3) 上的李代数 ;
(3) 给定 ，计算 的方式称为 李群与李代数的指数映射;
(3) 给定 ，计算 的方式称为 李群与李代数的对数映射;