离散点的曲率计算

描述

我有一个点集，里面都是[x,y]这样的二维点，这个点集能形成一个曲线。
在并不想去求这个曲线的表达式时，怎么得到某一点的曲率呢

相关知识

曲率的定义是：
针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，而曲率的倒数就是曲率半径
$$K=\left|\frac{\Delta \theta }{l}\right|=\left|\frac{1}{r}\right|$$

式子中$K$代表的就是曲率，$\Delta \theta$代表的就是切线方向角的变化，$l$代表弧长，$r$代表的就是曲率半径

式子也挺好看懂的。我们都知道圆的周长是$2\pi r$，任意一段弧长 的计算方式是
$$l=\theta \cdot r$$

式子中的$\theta$代表的就是弧长对应的角度

解决

我有一段圆弧ab，对应的圆内角$\theta$是啥我不用解释了吧，初中数学

那么到这儿也比较简单了，如果离散点中，ab就是相邻的两个点，那么a点（或者b点或者随便哪个点）的曲率怎么计算呢

我们设要求的点 $p$，在点集 $P$ 的位置是 $i$ ，点集实际上是 $0$ 到 $n$ 的一系列二维点，那么点p的曲率$K_i$的表达式是
$$K_i=\left|\frac{\arctan \left(\frac{y_{i+2}-y_{i+1}}{x_{i+2}-x_{i+1}}\right)-\arctan \left(\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}\right)}{\sqrt{{\left(x_{i+1}-x_i\right)}^2+{\left(y_{i+1}-y_i\right)}^2}}\right|$$

挺好理解的，下面的是两点之间的距离，上面是切线方向角之差，不解释啦

补充

上面计算方式写的很清楚了，但其实有个小小问题
假设我有100个点，按照上面的公式，第1个点到第98个点都是可以很快计算出来的。

但99个点和100个点，因为没有101和102两个点，这两个点的曲率是无法计算的。

解决办法也很简单：

• 我使用离散点曲率计算，主要是在路径规划当中使用，我的这个离散点集在最后两个点上，实际上可以认为是路径终点，需要轨迹很平滑的。我的操作就是，将最后两个点的曲率，赋值成了倒数第三个点一样，问题应该不大。你可以根据自己的需求任意设置。
• 如果你就是不想自己设定，非要计算的来。造102个点，使用前100个，造n+2个点，使用前n个。（挺无聊的解决办法哈）