R16 Type II量化反馈码本的产生

前言

R16 Type II codebook是R15的增强版，R15仅考虑在空域上压缩，R16同时在空域和频域上压缩，所以一般把R16 Codebook 称为 R16 enhanced Type II codebook。下面，我们将简短回顾R15 Type II codebook，再深入介绍R16 eType II codebook。如果没有特殊说明，下面的介绍只关注单流(rank/layer=1)

1. R15 TypeII Codebook：简短回顾

NR R15 codebook is a two-stage precoder in the form
$$\mathbf{W}={\mathbf{W}}_1{\mathbf{W}}_2$$

（关于Wideband Matrix ${\mathbf{W}}_1$是不是layer-common这一点存疑）

1.1 ${\mathbf{W}}_1$：Beam Selection

${\mathbf{W}}_1\in {\mathbb{C}}^{P\times 2L}$是一个块对角矩阵$(P=2N_1{N}_2)$表示双极化的CSI-RS port数，$N_1$和$N_2$分别表示水平方向和垂直方向的天线数。
$${\mathbf{W}}_1=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right]$$

其中$\mathbf{B}=[{\mathbf{b}}_0,\cdots ,{\mathbf{b}}_{L-1}]\in {\mathbb{C}}^{N_1{N}_2\times L}$的列向量${\{{\mathbf{b}}_i\}}_{i=0}^{L-1}$是正交的，从两维的过采样DFT矩阵中选出$L$个正交的基底。水平方向和垂直方向的过采样DFT向量可以表示为（$O_1$和$O_2$分别表示水平方向和垂直方向的过采样因子）：
$$\begin{array}{rl}\text{Horizontal: }{\mathbf{u}}_m& =[1,e^{\frac{j2\pi m}{O_1{N}_1}},\cdots ,e^{\frac{j2\pi m(N_1-1)}{O_1{N}_1}}]\in {\mathbb{C}}^{N_1\times 1}\\ \text{Vertical: }{\mathbf{v}}_l& =[1,e^{\frac{j2\pi l}{O_2{N}_2}},\cdots ,e^{\frac{j2\pi l(N_2-1)}{O_2{N}_2}}]\in {\mathbb{C}}^{N_2\times 1}\end{array}$$

矩阵$\mathbf{B}$每个列向量${\mathbf{b}}_{l,m}$可以表示为：
$${\mathbf{b}}_{m,l}={\mathbf{u}}_m\otimes {\mathbf{v}}_l\in {\mathbb{C}}^{N_1{N}_2\times 1}$$

且
$m=O_1{n}_1^{(i)}+q_1,0\le n_1^{(i)}<N_1,0\le q_1<O_1(0\le m\le N_1{O}_1-1)$

$l=O_2{n}_2^{(i)}+q_2,0\le n_2^{(i)}<N_2,0\le q_2<O_2(0\le m\le N_2{O}_2-1)$

1.2 ${\mathbf{W}}_2$：Linear Combination Coefficients Quantization

${\mathbf{W}}_1$可以看作是空域上的压缩基底（$2L<2N_1{N}_2$个基底），${\mathbf{W}}_2$构成了这$2L$个基底上的系数（坐标），我们要做的就是对这$2L$个系数做量化。${\mathbf{W}}_2\in {\mathbb{C}}^{2L\times 1}$的每个元素$w_{\ell }$（$0\le \ell <L$）可以被表示（量化）为
$$w_{\ell }={\bar{\lambda }}_{\ell }{\lambda }_{\ell }{e}^{j2\pi {\varphi }_{\ell }}$$

其中
${\bar{\lambda }}_{\ell }$ is a wideband reference amplitude
${\lambda }_{\ell }$ is a subband differentia amplitude
${\varphi }_{\ell }$ is a subband phase term

2 R16 eTypeII Codebook

2.1 空/频域基底

R16考虑到了子带（时延）之间的相关性，因此反馈的系数可以进一步减少，我们令$N_3$为子带的数量(# frequency units)，R16 codebook可以表示为
$$\mathbf{W}={\mathbf{W}}_1{\tilde{\mathbf{W}}}_2{\mathbf{W}}_f^H\in {\mathbb{C}}^{P\times N_3}$$

UE需要反馈：

• ${\mathbf{W}}_1={\{{\mathbf{b}}_i\}}_{i=0}^{L-1}$ 空域选择的基底
• ${\mathbf{W}}_f={\{{\mathbf{f}}_k\}}_{k=0}^{M-1}$ 频域选择的基底
• 线性组合系数${\tilde{\mathbf{W}}}_2=\{c_{i,f}\},i=0,1,\cdots ,L-1,k=0,1,\cdots ,M-1$

注意，${\mathbf{W}}_f\in {\mathbb{C}}^{N_3\times M}$是由$M$个DFT基底构成的矩阵：${\mathbf{W}}_f=[{\mathbf{f}}_1.\cdots ,{\mathbf{f}}_M]$，其中
$${\mathbf{f}}_k=[1,e^{-\frac{2\pi k}{N_3}},\cdots ,e^{-\frac{2\pi k(N_3-1)}{N_3}}]\in {\mathbb{C}}^{N_3\times 1},0\le k<N_3$$

注意，频域上的压缩矩阵${\mathbf{W}}_f$的选取对于不同流/layer是独立的的。

具体来看，$N_3$和$M$的取值如何选取：
$M$: Number of DFT bais vectors
$N_3$: Number of Frequency domain (FD) units

我们有
$$N_3=N_{sb}\times R$$

$$M=p_v\times \frac{N_3}{R}$$

其中

• $N_{s_b}$ is the number of subband.
• $R$ indicates the number of FD units contained in each subband.
• $p_v$ is configured by high-level signaling to determin the number of DFT basis vectors.

2.2 系数矩阵${\tilde{\mathbf{W}}}_2$的量化

${\tilde{\mathbf{W}}}_2\in {\mathbb{C}}^{2L\times M}$是两维的归一化线性组合系数，${\tilde{\mathbf{W}}}_2$可以被拆分为：
$${\tilde{\mathbf{W}}}_2=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{p_0}{\mathbf{I}}_L& 0\\ 0& {\lambda }_{p_1}{\mathbf{I}}_L\end{array}\right]{\bar{\mathbf{W}}}_2$$

其中

• ${\lambda }_{p_0},{\lambda }_{p_1}\in {\mathcal{C}}_{Ref}$ correspond to the reference amplitude quantization values for each of the two polarizations ($p_0$ and $p_1$)
• ${\tilde{\mathbf{W}}}_2$ is normalized such that $\max \{{\lambda }_{p_0},{\lambda }_{p_1}\}=1$

另一部分，${\bar{\mathbf{W}}}_2$可以表示为：
$${\bar{\mathbf{W}}}_2=\mathbf{\Lambda }\odot e^{j2\pi \mathbf{\Phi }}$$

其中$\odot$表示Hadamard积，and each of the elements of $\mathbf{\Lambda }$ and $\mathbf{\Phi }$ represent the differential amplitude ($\in {\mathcal{C}}_A$) and phase values ($\in {\mathcal{C}}_P$) of $2L\times M$ linear combination coefficients.

另外，为了进一步降低CSI反馈的开销，$2LM$个线性组合系数只有$2\beta LM(0<\beta <1)$个系数被反馈。

• ${\mathcal{C}}_{Ref}=\{1,(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{4}},(\frac{1}{2^2}{)}^{\frac{1}{4}},(\frac{1}{2^3}{)}^{\frac{1}{4}},\cdots ,(\frac{1}{2^{14}}{)}^{\frac{1}{4}},0\}$
• ${\mathcal{C}}_A=\{1,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{2}},\frac{1}{4},\frac{1}{4\sqrt{2}},\frac{1}{8},\frac{1}{8\sqrt{2}}\}$
• ${\mathcal{C}}_P$: 16-PSK/ 8-PSK

3GPP给出了$(L,p_v,\beta )$三个参数的配置。

2.3 生成R16 Codebook的步骤

假设一共有$N_3个子带，我们考虑信号模型为

$${\mathbf{y}}^{UE}(f_n)=\mathbf{H}(f_n){\mathbf{W}}_{CSI-RS}{\mathbf{s}}_{CSI-RS}+\mathbf{z}$$

有效信道
$${\mathbf{H}}_e(f_n)=\mathbf{H}(f_n){\mathbf{W}}_{CSI-RS}\in {\mathbb{C}}^{Nr\times P}$$

基于上述模型和等效信道，我们可以通过以下步骤构造生成R16 Codebook precoder

• Step-1: UE估计下行有效信道 ${\mathbf{H}}_e(f_n)\in {\mathbb{C}}^{Nr\times P}$

• Step-2: 在全频带是上计算协方差矩阵（求均值）
  $${\mathbf{R}}_{DL}={\mathbb{E}}_{f_n}\left[{\mathbf{H}}_e^H(f_n){\mathbf{H}}_e(f_n)\right]\in {\mathbb{C}}^{P\times P}$$

• Step-3：将下行协方差矩阵映射到wideband beam matrix ${\mathbf{W}}_1\in {\mathbb{C}}^{P\times 2L}$（通过遍历的方式寻找最优解）
  $${\mathbf{W}}_1=\arg \underset{{\tilde{\mathbf{W}}}_1\in {\mathcal{C}}_{{\mathbf{W}}_1}}{\max }{\Vert \tilde{\mathbf{W}}}_1^H{\mathbf{R}}_{DL}{\tilde{\mathbf{W}}}_1{\Vert }_F^2$$

• Step-4: 将整个频带上的所有特征向量记为（我们实际要去量化的）
  $${\mathbf{V}}^f=[{\mathbf{v}}^{f_1},{\mathbf{v}}^{f_2},\cdots ,{\mathbf{v}}^{f_{N_3}}]\in {\mathbb{C}}^{P\times N_3}$$

  其中${\mathbf{v}}^{f_n}$表示第$n$个子带对应的协方差矩阵${\mathbf{R}}_{DL}(f_n)={\mathbf{H}}_e^H(f_n){\mathbf{H}}_e(f_n)$的主特征向量。空域上线性组合系数构成的矩阵${\mathbf{W}}_2$可以表示为
  $${\mathbf{W}}_2={\mathbf{W}}_1^H{\mathbf{V}}^f\in {\mathbb{C}}^{2L\times N_3}$$

• Step-5: 从$N_3$个DFT基向量（$N_3$维空间）中选取$M$个基底作为频域上的压缩基底。
  基于最大化能量准则，我们计算
  $$k_1,\cdots ,k_M=\underset{k_1,\cdots ,k_M}{\mathrm{argmax}}\sum _{k_m}{\Vert {\mathbf{W}}_2{\mathbf{f}}_{k_m}\Vert }_2$$

  从$N_3$个基底中找到能量最大的$M$个基底，或者表述为：
  $${\Vert {\mathbf{W}}_2{\mathbf{f}}_{k_1}\Vert }_2\ge {\Vert {\mathbf{W}}_2{\mathbf{f}}_{k_2}\Vert }_2\ge {\Vert {\mathbf{W}}_2{\mathbf{f}}_{k_3}\Vert }_2\ge \cdots \ge {\Vert {\mathbf{W}}_2{\mathbf{f}}_{k_M}\Vert }_2\ge \cdots$$

  由此得到频域压缩的基底
  $${\mathbf{W}}_f=[{\mathbf{f}}_{k_1},{\mathbf{f}}_{k_2},\cdots ,{\mathbf{f}}_{k_M}]\in {\mathbb{C}}^{N_3\times M}$$

• Step-6：计算空域-频域的系数矩阵${\tilde{\mathbf{W}}}_2\in {\mathbb{C}}^{2L\times M}$:
  $${\tilde{\mathbf{W}}}_2={\mathbf{W}}_2{\mathbf{W}}_f\in {\mathbb{C}}^{2L\times M}$$

• Step-7: 对${\tilde{\mathbf{W}}}_2\in {\mathbb{C}}^{2L\times M}$进行量化：首先，在$2LM$个线性组合系数找出模最大的$2\beta LM(0<\beta <1)$个系数，其它置为0。
  7.1 分别找到${\tilde{\mathbf{W}}}_2$两个极化方向上模最大的元素和索引：

  将$+45^{°}$方向的索引记为$(l_0,m_0),1\le l_0\le L,1\le m_0\le M$；
  将$-45^{°}$方向的索引记为$(l_1,m_1),L+1\le l_1\le 2L,1\le m_1\le M$；

  将${\tilde{\mathbf{W}}}_2$归一化为：
  $${\tilde{\mathbf{W}}}_2^{norm}=\frac{1}{\max \{|{\tilde{W}}_2(l_0,m_0)|,|{\tilde{W}}_2(l_1,m_1)|\}}{\tilde{\mathbf{W}}}_2^{}$$

  7.2 对参考幅度值做量化：
  $+45^{°}$方向：${\lambda }_{p_0}={\mathrm{argmin}}_{{\lambda }_{p_0}\in {\mathcal{C}}_{ref}}|{\tilde{W}}_2(l_0,m_0)-{\lambda }_{p_0}|$
  $-45^{°}$方向：${\lambda }_{p_1}={\mathrm{argmin}}_{{\lambda }_{p_1}\in {\mathcal{C}}_{ref}}|{\tilde{W}}_2(l_1,m_1)-{\lambda }_{p_1}|$

  其中${\mathcal{C}}_{Ref}=\{1,(\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{4}},(\frac{1}{2^2}{)}^{\frac{1}{4}},(\frac{1}{2^3}{)}^{\frac{1}{4}},\cdots ,(\frac{1}{2^{14}}{)}^{\frac{1}{4}},0\}$

  7.3 将${\tilde{\mathbf{W}}}_2^{norm}$拆分为
  $${\tilde{\mathbf{W}}}_2^{norm}=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{p_0}{\mathbf{I}}_L& 0\\ 0& {\lambda }_{p_1}{\mathbf{I}}_L\end{array}\right]{\bar{\mathbf{W}}}_2^{norm}\in {\mathbb{C}}^{2L\times M}$$

  7.4 对${\bar{\mathbf{W}}}_2^{norm}$中的非零项做量化：
  $${\bar{W}}_2^{quan}(l,m)=\lambda e^{j2\pi \varphi }=\underset{\lambda \in {\mathcal{C}}_A,\varphi \in {\mathcal{C}}_P}{\mathrm{argmax}}|{\bar{W}}_2^{norm}(l,m)-\lambda e^{j2\pi \varphi }|$$

  最终，量化后的码本为：
  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{W}}^{quan}& ={\mathbf{W}}_1\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_{p_0}{\mathbf{I}}_L& 0\\ 0& {\lambda }_{p_1}{\mathbf{I}}_L\end{array}\right]{\bar{\mathbf{W}}}_2^{quan}{\mathbf{W}}_f^H\\ & ={\mathbf{W}}_1{\tilde{\mathbf{W}}}_2{\mathbf{W}}_f^H\end{array}$$

2.4 rank=2

3 仿真设置建议

3.1 设置

（1） R15 Type I
rank=1：遍历所有码本，根据最大化RSRP准则找到量化最优的码本
rank=2：遍历所有码本，根据最大化RSRP准则找到量化最优的码本

（2） R16 Type II
基本配置：

• 每个subband包含4 / 8个RB
• 直接配置$N_3$为子带数
• paramcombination-r16取5，即$L=4,p_v=1/4,\beta =3/4$，可以计算出，频域压缩的基底数$M=p_v\cdot N_3=N_3/4$，如果没有除尽，我们考虑上取整$M=\lceil N_3/4\rceil$
• 空域压缩基底：layer-common
• 对于rank=2，频域压缩基底：layer-independent

额外说明：

• 假设UE已知完美信道，不考虑估计误差，直接对完美信道进行量化，因此只考虑量化误差
• 假设已知外层权矩阵${\mathbf{W}}_{CSI-RS}\in {\mathbb{C}}^{N_{BS}\times P}$，这可以通过遍历8个外层权来选择最大化夹角余弦所对应的矩阵。

3.2 Metric

（1） R15 Type I: 空域压缩，各个子带单独反馈
（1.1） rank=1
$$R_{DL}^{sub}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_1^H+\sum _{k>1}{\lambda }_k{\mathbf{v}}_k{\mathbf{v}}_k^H$$

其中${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_P$。若令R15 Type I量化后的码本为$\mathbf{w}\in {\mathbb{C}}^{P\times 1}$，考虑以下两种metric：
$$\begin{array}{rl}\text{square of cosine}& :{\left|<{\frac{{\mathbf{v}}_1}{\Vert {\mathbf{v}}_1\Vert }}_2,{\frac{\mathbf{w}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }}_2>\right|}^2\\ \text{MSE}& :{\Vert {\frac{{\mathbf{v}}_1}{\Vert {\mathbf{v}}_1\Vert }}_2-{\frac{\mathbf{w}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }}_2\Vert }_2^2\end{array}$$

（1.1） rank=2
$$R_{DL}^{sub}={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_1^H+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_2^H+\sum _{k>2}{\lambda }_k{\mathbf{v}}_k{\mathbf{v}}_k^H$$

其中${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_P$。若令R15 Type I量化后的码本为$\mathbf{W}=[{\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2]\in {\mathbb{C}}^{P\times 2}$，量化的metric与rank=1等价，${\mathbf{w}}_1$与${\mathbf{w}}_2$分别评估。

（2） R16 Type II: 空/频域压缩
回顾整个频带的特征向量（我们实际要去量化的）：
layer-1：
$${\mathbf{V}}_1^f=[{\mathbf{v}}_1^{f_1},{\mathbf{v}}_1^{f_2},\cdots ,{\mathbf{v}}_1^{f_{N_3}}]\in {\mathbb{C}}^{P\times N_3}$$

layer-2：
$${\mathbf{V}}_2^f=[{\mathbf{v}}_2^{f_1},{\mathbf{v}}_2^{f_2},\cdots ,{\mathbf{v}}_2^{f_{N_3}}]\in {\mathbb{C}}^{P\times N_3}$$

量化的metric与R15 rank=1类似，量化后各个子带、各个layer单独评估，再综合。

主要参考文献

[1] Zhihua Shi, et,al., Chapter 8 - Multiple-input multiple-output enhancement and beam management. 5G NR and Enhancements, Elsevier, 2022,