69. Sqrt(x) x的平方根

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question：
  Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.

Example 1:

Input: 4
Output: 2

Example 2:

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since
the decimal part is truncated, 2 is returned.

解法一：二分搜索
  对于一个非负数n，它的平方根不会小于大于（n/2+1）。在[0, n/2+1]这个范围内可以进行二分搜索，求出n的平方根。在中间过程计算平方的时候可能出现溢出，所以用long long。代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x <= 1) return x;
        long long left = 0, right = x / 2 + 1;
        while (left <= right) {
            long long mid = left + (right - left) / 2;
            long long tmp = mid * mid;
            if (tmp == x) return mid;
            else if (tmp < x) left = mid + 1;
            else right = mid -1;
        }
        return right;
    }
};

解法一：牛顿迭代法
  为了方便理解，就先以本题为例：

计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

以此类推。

以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

1. 直接计算f(x_i)的值判断是否为0，
2. 判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x <= 1) return x;
        double last = 0, res = 1;
        while (last != res) {
            last = res;
            res = (res + x / res) / 2;
        }
        return int(res);
    }
};

参考：https://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/04/18/3028607.html