数学小抄: 对于齐次变换矩阵的伴随算子求导性质

前言

齐次变化矩阵的伴随算子($A{d}_T$)旋量体系中往往用于同一向量在不同坐标系之间变换的作用. 它的求导主要出现于Newton-Euler Inverse Dynamics中. 本博客参考熊有伦院士的<机器人学>中将$A{d}_T$转换为齐次变换矩阵的形式进行求导.补充部分参考熊院士书中P136.

正文

这里直接给出答案,下面进行推导:
$$\begin{array}{rl}(\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i},\mathrm{i}-1}}){\mathcal{V}}_{\mathrm{i}-1}& =T_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}\end{array}$$
这里对$\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i},\mathrm{i}-1}}$求导, ${\mathcal{V}}_{i-1}$看作],引入矩阵求导法则$d(X^{-1})=-X^{-1}\dot{X}{X}^{-1}$以及$T=e^{[\mathcal{V}]\theta }M,\dot{T}=[{\mathcal{V}}_i]\dot{\theta }T$:
$$\begin{array}{rl}\frac{d(\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i},\mathrm{i}-1}})}{dt}{\mathcal{V}}_{i-1}& ={\dot{T}}_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}+T_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]{\dot{T}}_{i,i-1}^{-1}\\ & ={\dot{T}}_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}-T_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}{\dot{T}}_{i,i-1}{T}_{i,i-1}^{-1}\\ & =[{\mathcal{V}}_i]\dot{\theta }{T}_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}-T_{i,i-1}[{\mathcal{V}}_{i-1}]T_{i,i-1}^{-1}[{\mathcal{V}}_i]\dot{\theta }\end{array}$$
借助Lie bracket有:
$$[{\mathcal{V}}_1][{\mathcal{V}}_2]-[{\mathcal{V}}_1][{\mathcal{V}}_2]=[{\mathcal{V}}_1\times {\mathcal{V}}_2]$$
$$\left[\begin{array}{c}{w}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}[w_1]& 0\\ [v_1]& [w_1]\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_2\\ v_2\end{array}\right]=[a{d}_{{\mathcal{V}}_1}]{\mathcal{V}}_2$$

$$原式=\frac{d}{dt}[{\mathrm{Ad}}_{\mathrm{T}(\mathrm{t})}]=[\mathrm{a}{\mathrm{d}}_{\mathcal{V}\dot{\theta }}][\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{\mathrm{T}(\mathrm{t})}]$$

补充: 直接对$\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i},\mathrm{i}-1}}$求导

给定转轴${\mathcal{A}}_i=[w,v{]}^T$
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}([\mathrm{A}{\mathrm{d}}_{{\mathrm{T}}_{\mathrm{i},\mathrm{i}-1}}]){\mathcal{V}}_{\mathrm{i}-1}& =\frac{d}{dt}(\left[\begin{array}{cc}{R}_{i,i-1}& 0\\ [p]R_{i,i-1}& R_{i,i-1}\end{array}\right]){\mathcal{V}}_{i-1}\\ & =\left[\begin{array}{cc}{\dot{R}}_{i,i-1}& 0\\ [\dot{p}]R_{i,i-1}& {\dot{R}}_{i,i-1}\end{array}\right]{\mathcal{V}}_{i-1}\\ & =\left[\begin{array}{cc}[w_i]\dot{\theta }{R}_{i,i-1}& 0\\ [v_i]\dot{\theta }{R}_{i,i-1}+[p][w_i]\dot{\theta }{R}_{i,i-1}& [w_i]\dot{\theta }{R}_{i,i-1}\end{array}\right]{\mathcal{V}}_{i-1}\end{array}$$
对于${\dot{R}}_{i,i-1}$的由来:
$${\dot{R}}_{i,i-1}{R}_{i,i-1}^{-1}=[w_i]$$
这里$\{i\}$是参考坐标系类似与$\{s\}$, $w_i$类似于$w_s$.
对于$p$的求导:
$$\dot{p}=G^{\prime }(\theta )\dot{\theta }v=Rv\dot{\theta }$$
$\theta$对于单轴而言是标量. 注意这里的$v$其实是$v_b$, 为何是$v_b$? 对比${\mathcal{V}}_b$的导出过程

$${\mathcal{V}}_b=T^{-1}\dot{T}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& -R^{T}p\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\dot{R}& \dot{p}\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}^T\dot{R}& R^T\dot{p}\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}[w_b]& v_b\\ 0& 0\end{array}\right]$$

$v_b=R^T\dot{p}$ 故 $R^{-1}=R^T$, 有$\dot{p}=R{v}_b$, 此处的R自然是将$v_b$转换至$v_s$ , 因为$R$是来源于$G(\theta )$的导数->关于$w_i$即参考坐标系的罗德里格斯公式.
综上有:
$$\dot{p}=v_i\dot{\theta }$$
对$\dot{p}$取括号有: $[\dot{p}]=[v_i]\dot{\theta }$

经过上述的证明, 也可以对旋量有更深的理解: 一切运动都是由旋转运动所带来的，而在twist中角速度的部分引发旋转，因此旋转运动可以直接表示为$\mathbf{w}\theta ,\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^3$, 而twist中$\mathbf{v}$带来的运动也可以通过$\mathbf{v}\theta$表示，$\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$, 这里是为什么呢? 原因就在前述的证明中。