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实验二微分方程与差分方程模型matlab求解
实验二： 微分方程与差分方程模型Matlab求解
一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；[2] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
[4]Logistic模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1 求解一阶微分方程 ???
(1) 求通解
输入：
dsolve('Dy=1+y^2')
输出：
ans =
tan(t+C1)
(2)求特解
输入：
dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')
指定初值为1，自变量为x
输出：
ans =
tan(x+1/4*pi)
例2 求解二阶微分方程
原方程两边都除以，得
输入:
dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')
ans =
- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) + (exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))
试试能不用用simplify函数化简
输入: simplify(ans)
ans =
2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) ?
(2)微分方程组
例3 求解???? df/dx=3f+4g;? dg/dx=-4f+3g。
f =
exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t))
g =
exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))
特解：
[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1')
f =
exp(3*t)*sin(4*t)
g =
exp(3*t)*cos(4*t)
数值解
在微分方程(组)难以获得解析解的情况下，可以用Matlab方便地求出数值解。格式为:
[t,y] = ode23('F',ts,y0,options)
注意：
微分方程的形式：y' = F(t, y)，tts=[t0, tf] 表示自变量的取值范围，(2)ts=[t0,t1,t2,…,tf],则输出在指定时刻t0,t1,t2,…,tf处给出，(3)ts=t0:k:tf,则输出在区间[t0,tf]的等分点给出；
y0为初值条件；
options用于设定误差限(缺省是设定相对误差是10^(-3)，绝对误差是10^(-6))
解 形式转化：令。则以上方程转化一阶微分方程组： 。
编写M文件如下，必须是M文件表示微分方程组，并保存，一般地，M文件的名字与函数名相同，保存位置可以为默认的work子目录，也可以保存在自定义文件夹，这时注意要增加搜索路径(File\Set Path\Add Folder)
??? dot1=[y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];
在命令窗口写如下命令:
[t,y]=ode23('vdpol',[0,20],[1,0]);
y1=y(:,1);y2=y(:,2);
plot(t,y1,t,y2,'--');title('Van Der Pol Solution ');
xlabel('Time,Second');ylabel('y(1)andy(2)')
执行：
注：Van der Pol方程描述具有一个非线性振动项的振动子的运动过程。最初,由于它在非线性电路上的应用而引起广泛兴趣。一般形式为。
图形解
无论是解析解还是数值解，都不如图形解直观明了。即使是在得到了解析解或数值解的情况下，作出解的图形，仍然是一件深受欢迎的事。这些都可以用Matlab方便地进行。
(1)图示解析解
如果微分方程(组)的解析解为：y=f (x)，则可以用Matlab函数fplot作出其图形：
fplot('fun',lims)
其中：fun给出函数表达式；lims=[xmin xmax ymin ymax]限定坐标轴的大小。例如
fplot('sin(1/x)', [0.01 0.1 -1 1])
(2)图示数值解
设想已经得到微分方程(组)的数值解(x,y)。可以用Matlab函数plot(x,y)直接作出图形。其中x和y为向量(或矩阵)。
2、Volterra模型(食饵捕食者模型)
意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼的比例有明显增加(见下表)。
年代19141915191619171918百分比11.921.422.121