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数学模型论文地中海鲨鱼问题

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摘 要

捕食者——食饵模型是数学生态研究的重要内容，影响种群的波动的因素有很多，之神阻滞作用就是其中重要的一种因素。捕食者和食饵这两个物种之间既相互制约又相互依存。

首先，本题要求研究两种模型，并将这两种模型作对比，即是“不考虑人工捕获的情况下鲨鱼和食饵比例的变化”和“考虑人工捕获的情况下鲨鱼与食饵的比例的变化”。以此来说明：战争中的鲨鱼的比例比战争前要高！建立两种非线性规划模型，利用matlab软件将其求出数值结果，并画出图形求证结果，结果表明：战争中的鲨鱼的比例比战争前要高！

其次，由意大利著名生物学家(volterra)建立系列数学模型。食用鱼一多，鲨鱼易得食，鲨鱼量亦增，而由于鲨鱼数目增多吃掉大量的食用鱼，鲨鱼又进入饥饿状态而使其总数下降，这时食用鱼相对安全些，于是食用鱼总数回升，就这样，食用鱼鲨鱼数量交替着增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。

最后，分析该模型的合理性，对模型进行改进，使之能成为类似问题的参考。

关键词：偏微分方程，matlab，数学建模，动态平衡，非线性规划

问题重述

意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表)，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？

年代

1914

1915

1916

1917

1918

百分比

11.9

21.4

22.1

21.2

36.4

年代

1919

1920

1921

1922

1923

百分比

27.3

16.0

15.9

14.8

19.7

他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.

为了解释这一问题，通过建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题.，给出一个合理又具有说服力和可实际操作的的答案或方案！以供现实生产，捕捞的指导与借鉴！

模型假设

食饵由于不是者的存在使增长率降低，假设降低的程度与捕食者数量成正比；

捕食者由于食饵为它提供食物作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比；

符号说明

食饵在t时刻的数量

捕食者在t时刻的数量

食饵独立生存时的增长率

捕食者独自存在时的死亡率

捕食者掠取食饵的能力

食饵对捕食者的供养能力

e

捕获能力系数

问题分析

第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加。战争结束后，因为渔民开始打渔，所以鱼类的黄金生长期开始受到威胁。虽然鱼类的繁殖和生长符合达尔文的自然选择学说，而且它不会肆意的疯长，但总会有天敌和种群内面的竞争而被淘汰一部分，而实现优胜略汰的目的，实现种群的优质成长和发展。

战争使得捕鱼量下降，所以食饵与鲨鱼数量产生了变化，因此，我们进行数据分析与整理，对鲨鱼比例的明显变化现象给出合理的问题分析以及合理的问题解释。

模型的建立与求解

模型(一) 不考虑人工捕获

该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型.

设食饵者和捕食者的初始数量分别为：

对于数据

t的终值经试验后确定为15。

针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用于求解微分方程的功能函数——ode45，做出数值计算，求解方程。

并画出食饵和捕食者随时间变化的关系图。

图像如下：

与的曲线

相轨线x(t)的图形

两个关系图的简要说明：

对于图形“与的曲线”的解释：

对于食饵增多，则鲨鱼易于取食，所以鲨鱼数量增加；然而，由于鲨鱼数量的增多而需要食用更多的食饵，可是食饵的数量正在下降，则鲨鱼进入了饥饿的状态而使得鲨鱼的数量急剧下降，这时部分食饵得以存活，所以食饵数量回升；随着捕食者和被捕食者的关系，食饵与鲨鱼的数量交替增减，它们的数量进入无休止的循环，成为了生物圈中的动态平衡。

模型(二) 考虑人工捕获

设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e

仍取

设战前捕获能力系数e=0.3, 战争中降为e=0.1, 则战前与战争中的模型分别为:

针对一组具体的数据用matlab软件进行计算，使用matlab函数库中专门用于求解微分方程的功能函数——ode45，做出数值计算，求解方程。

并画出战争中的鲨鱼与战争前的鲨鱼比例变化的图像。

图像如下：