数据结构（查找、图）

查找：
顺序查找（数组）：按照存储位置从头开始比对查找
折半查找：数据排好序，通过多次取中位数进行比较来进行查找
散列查找：通过散列函数计算出存储位置进行查找。散列函数：存储位置 = f(key)
散列查找基本思想：
散列技术分为：存储技术和查找技术 ，散列技术是面向查找的存储结构，记录之间不存在关联关系，只与关键字有关。不具备很多常用数据结构的能力
散列技术不擅长的领域：
关键字对应很多记录时；范围查找；想获得记录排序；类似最大、最小、均方差等统计值也计算不了
实际应用：多种存储与查找技术相结合，DBMS
核心是散列函数，散列函数设计规则：计算简单（查找效率高）、散列地址分布均与（冲突尽可能少）
散列函数构造方法：
直接定址法：f(key) = a * key + b(a,b为常熟）
优点：简单均与、不会产生冲突；缺点：事先知道关键字分布特征，适合查找效率较小且连续
数字分析法：适合关键字位数比较大，事先知道关键字分布且若干位分布均与
平方取中法：适合不知道关键字分布，且位数不大的情况。位数太大超出整数表达范围，涉及大数运算，查找效率低
折叠法：顺向叠加和S型叠加，适合不知道关键字分布，且位数较多的情况
除留取余法（最常用的散列函数构造方法）：f(key) = key mod p (p<=m）
关键：选择合适的p，否则容易产生同义词
p的取值：通常小于p或等于表长m的最大质数，不包含小于20质因子的合数
随机数法：f(key) = random(key)，rand函数是伪随机函数，只要随机种子一样随机函数生成数据也一样
散列地址冲突解决方案：
开放地址法（最常用、最有效的方法）：f(key) = (f(key i) + di ) mod 12 (di = 1,2,3...)
涉及线性探测和二次探测
思想：一旦发生冲突就寻找下一个空散列地址，并存储
再散列函数法：fi(key) = Rhi(key) (i = 1,2 ...,k)
思想：一旦发生冲突就尝试下一个散列函数，可将所有hash函数构造法相结合；缺点：计算开销大
链地址法：类似图的邻接表。消除冲突地址（效率较高），实现相对复杂
公共区溢出法：用基本表存储数据，当发生冲突时，就把冲突的数据放在溢出表中挨个存取。比较适合冲突数据较少的情况

散列表查找实现

散列表初始化

散列函数定义

插入关键字

查找关键字

散列表的装填因子：填入表中记录个数/散列表长

不同查找算法平均查找长度

图的基本概念和相关术语：
图记为G(V,E) ，V表示顶点集合，E表示边。当边为空时，图依然存在，只有点没有变
有向图：图中每条边都有方向
无向图：每条边都无方向
完全图：任意两个顶点都有一条边相连
若n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边，称为无向完全图；若n个顶点的有向图有n(n-1)条边称为有向完全图。
稀疏图：边较少的图，通常边数< 稠密图：边很多的图，无向图中边数接近n(n-1)/2，有向图中边数接近n(n-1)
子图：顶点和边都属于原图
带权图：边上带权的图。网络=带权图
连通图：无向图中一个顶点到另一个顶点有路径，则称为连通的。如果图中任意顶点之间都有联通则称为连通图
强连通图：有向图中两个顶点之间都存在一条从vi到vj和从vj到vi的路，则称为强连通图。非强连通图的极大强连通子图称为强连通分量
有向边(u,v)叫弧，u叫弧头、v叫弧尾，u,v称为邻接点
度：顶点与它相关联的条数
有向图中，度分为入度和出度：入度顶点作为终点的有向边条数，出度顶点作为始点的有向边条数
生成树：极小连通子图，包含途中全部顶点，但是只有n-1条边；如果在生成树上添加一条边必构成一个环，若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通图
生成森林：若干生成树构成，含全部顶点，但构成这些树的边是最少的
路径：从一个顶点到另一个顶点之间经过的顶点序列
路径长度：
无向图的路径长度是路径上面边的条数，有向图的路径长度是路径上面权的和
简单路径：路径上的顶点不重复
回路：路径上第一个顶点到最后一个顶点重合称为环或着回路

图的存储结构为链式存储（可用多重链表，邻接表、邻接多重表、十字链表），无顺序存储但可用数组描述元素间的关系
邻接矩阵（数组）表示法：

邻接矩阵表示法

例

有向图

有向图分析

带权图邻接矩阵

邻接矩阵优缺点

邻接矩阵算法实现

邻接矩阵算法实现

临界点的链式表示法

邻接表不唯一：因为各个边的链入顺序是任意的

邻接表和邻接矩阵的相异

邻接表算法实现

邻接表算法实现2

图的遍历：
从连通图的任意顶点出发，沿着一些边访遍图中所有顶点，且每个顶点仅被访问一次
实质：找每个顶点的邻接点
图的遍历通常有两种：深度优先和广度优先搜索
深度优先搜索（DFS）堆 基本思想：仿树的先序遍历

DFS例

DFS算法实现

邻接表的DFS算法实现

DFS算法效率分析：
如果用邻接矩阵表示图：遍历图中每个顶点都要从头扫描该顶点所在行，时间复杂度为O(n2)
如果用邻接表表示图：虽然有2e个表结点，但只需扫描e个结点就可完成遍历，加上遍历头结点的时间，时间复杂度为O(n+e)
稠密图适用于邻接矩阵上进行深度遍历，稀疏图适用于邻接表上进行深度遍历
广度优先搜索（BFS）队列 ：仿树的层次遍历，从上到下，从左到右

BFS例

BFS步骤

BFS算法实现

BFS算法效率分析：
如果用邻接表来表示图，则时间复杂度为d0+d1+...+dn-1=O(e)，其中di表示顶点i的度
如果用邻接矩阵表视图，对于每个被访问到的顶点，都要循环检测矩阵中的一整行，所以时间复杂度为O(n2）
DFS和BFS的比较：
空间复杂度相同都是O(n)，时间复杂度只与存储结构有关，与搜索路径无关

最短路径：
从图中某个顶点（源点）到另一个顶点（终点）之间的路径可能不止一条，找到一条沿此路径上权值和最小的路径
最短路径分为：单源点最短路径和所有顶点之间的最短路径
单源点最短路径：在图中给定源点，求从源点开始到所有各顶点之间的最短路径
Dijkstra（迪杰斯特拉算法）：提出了一个路径长度递增次序，逐步从源点到其余各点的最短路径算法
迪杰斯特拉算法：
用一个邻接矩阵表示有向图中的顶点之间关系
一个集合存储顶点集合，开始只有源点；把后面求得的最短路径顶点放入集合中，知道所有顶点均放入集合中算法结束。
一个一维数组保存最短路径的长度

数组的作用

弗洛伊德算法思想

弗洛伊德算法

最小生成树：
生成树：一个极小连通子图，包含图中全部顶点但是只有n-1条边
生成森林：若干生成树组成，含全部顶点，但是构成这些树的边最少
对连通图进行遍历，得到的是一个极小连通子图，及图的生成树
深度优先搜索得到的是深度优先搜索生成树，广度优先搜索得到的是广度优先搜索树
非连通图进行遍历得到的是图的生成森林

图转生成树示例

图转生成森林

邻接表求生成森林

具体步骤

不同遍历方法得到不同生成树，不同顶点开始遍历得到不同生成树。按照生成树的定义：n个顶点的连通网络的生成树有n个顶点n-1条边
构造最小生成树准则：
必须只使用该网络中的边来构造最小生成树；必须使用且仅使用n-1条边来连接n个顶点；不能使用产生回路的边
求最小生成树：Kruskal（克鲁斯卡尔）算法和Prim（普里姆）算法；均是利用最小生成树MST性质构造
Kruskl算法：将边归并，适于求稀舒网的最小生成树
Prim算法：将顶点归并，与边无关，适于求稠密网的最小生成树
MST性质：若U集是V集的一个非空子集，若(u0,v0)是一条最小权值的边，且u0属于U，v0属于V-U，则（u0,v0)必在最小生成树上。

克鲁斯卡尔算法步骤

克鲁斯卡尔算法实例

计算机中实现克鲁斯卡尔算法

普利姆算法步骤

普利姆算法实例

计算机中实现普利姆算法

具体实例