Popov超稳定性在模型参考自适应（MRAS）中的应用

符号说明

与参考文献²中一致

Popov超稳定性概述¹

对于连续时间线性定常系统，超稳定性成立的条件有两个：

输入输出积分满足Popov积分不等式：
传递函数矩阵满足正实性。

在MRAS中的应用，以PMSM参数辨识为例

在参考文献²中，可以看到本身模型参考自适应原理比较简单，只是对于控制器设计和稳定性证明比较麻烦，用到了Popov超稳定性理论来设计控制器。
首先，参考模型选择与源模型相同，构造了一误差系统，只要保证该误差系统的状态变量收敛到0，则电机参数即可估计出来。

其中为误差矢量，。取，则有：

通过设计来保证系统传递函数矩阵严格正实³，设计来保证满足输入输出Popov积分不等式。在该系统中，有 $A = \left[ \begin{matrix} -a & w_e\\ -w_e & -a \end{matrix} \right], \hat{A} = \left[ \begin{matrix} -\hat{a} & w_e\\ -w_e & -\hat{a} \end{matrix} \right], B = \left[ \begin{matrix} b & 0\\ 0 & b \end{matrix} \right], \hat{B} = \left[ \begin{matrix} \hat{b} & 0\\ 0 & \hat{b} \end{matrix} \right], C = \left[ \begin{matrix} 0 & -w_ec \end{matrix} \right]^T, \hat{C} = \left[ \begin{matrix} 0 & -w_e\hat{c} \end{matrix} \right]^T$ ，取均为PI类型的控制器，有：

将上计算式带入到Popov积分不等式中，其中即为误差系统中的，则为误差系统中的，借助matlab符号运算，即可得到化简后的Popov积分不等式如下：
$\int_{0}^{T}e_qw_e(c-\hat{c}) + (e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-\hat{a}) - (e_qu_q + e_du_d)(b-\hat{b})dt \geq -\gamma_0^2 \\ \Rightarrow \\ \int_{0}^{T}e_qw_e(c-(\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau + h_2(t) + \hat{c}(0)))dt \\ + \int_{0}^{T}(e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-(\int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau + f_2(t) + \hat{a}(0)))dt \\ - \int_{0}^{T}(e_qu_q + e_du_d)(b-(\int_{0}^{t}g_1(\tau)d\tau + g_2(t) + \hat{b}(0)))dt \\ \geq -\gamma_0^2$
其中，为一误差系统中与系统变量（即误差）初值相关的量。可以看到，要满足上式，即使：
$\int_{0}^{T}e_qw_e(c-(\int_{0}^{t}h_1(\tau)d\tau + h_2(t) + \hat{c}(0)))dt \geq -\gamma_1^2 \\ \int_{0}^{T}(e_q\hat{i_q}+e_d\hat{i_d})(a-(\int_{0}^{t}f_1(\tau)d\tau + f_2(t) + \hat{a}(0)))dt \geq -\gamma_2^2 \\ \int_{0}^{T}(e_qu_q + e_du_d)(b-(\int_{0}^{t}g_1(\tau)d\tau + g_2(t) + \hat{b}(0)))dt \geq -\gamma_3^2$
均满足即可。以上三式中第一个不等式为例，将其拆开，可以得到：

均满足即可。对于上两式中的第一式，可以利用如下不等式：

取，则可以得到：

而对于上两式中的第二式，可以直接取即可保证不等式成立：

因此，对于的控制率可以选择：

即可保证误差系统满足Popov超稳定性条件。使用同样的方法，即可得到的控制率如下：
$\hat{a}=-K_{fi}\int_{0}^{t}(\hat{i_d}(\tau)e_d(\tau)+\hat{i_q}(\tau)e_q(\tau))d\tau - K_{fp}(\hat{i_d}(\tau)e_d(\tau)+\hat{i_q}(\tau)e_q(\tau)) + \hat{a}(0) \\ \hat{b}=K_{gi}\int_{0}^{t}(u_d(\tau)e_d(\tau)+u_q(\tau)e_q(\tau))d\tau + K_{gp}(u_d(t)e_d(t)+u_q(t)e_q(t)) + \hat{b}(0)$

Note

值得注意的是，文献²中利用MRAS同时辨识出三个电机参数，但实际上系统模型的阶数仅为两阶，因此个人觉得应该是有些许错误，在实际仿真时也印证了这一点：只有两个参数时辨识才准确，若三个参数同时辨识，结果将不准确。

参考文献

[1] 波波夫(POPOV)超稳定性理论该怎么理解？@X HE

[2] Quntao An and Li Sun, "On-line parameter identification for vector controlled PMSM drives using adaptive algorithm," 2008 IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference, Harbin, 2008, pp. 1-6, doi: 10.1109/VPPC.2008.4677634.

[3] Xu Junfeng, Xu Yinglei, Xu jiangping, et al. “A new control method for permanent magnet synchronous machines with observer”, Aachen Germany: 35th IEEE Power Electronics Specialists Conference, 2004.

附录

matlab公式化简源码

clc;
clear all;
syms a b c A B C Ag Bg Cg e dltA dltB dltC i ig we id iq idg iqg ag bg cg e ud uq u real
A = [-a we;-we -a]
Ag = [-ag we;-we -ag]
B = [b 0;0 b]
Bg = [bg 0;0 bg]
C = [0;-we*c]
Cg = [0;-we*cg]
dltA = A - Ag
dltB = B - Bg
dltC = C - Cg
i = [id;iq]
ig = [idg;iqg]
e = i - ig
u = [ud;uq]
clc
-(dltA*ig + dltB*u + dltC)' * e