数字信号处理（8）- 频域采样定理

1 为什么要研究频域采样定理

由z变换和DFT的关系可知，DFT实现了对频域的采样，便于计算机的计算。

那么能否用频域采样恢复原来的信号（或者频率函数），其限制条件是什么，内插公式又是什么？

采样后所获得的有限长序列能否代表原序列？

2 频域采样定理推导

由于的存在，实质上兼容了x(m)取一个主值区间计算然后周期延拓的计算。

3 频域采样定理

与时域采样定理成对偶关系

注意：

4 频域插值的恢复X(z)

思路引出：

推导X(z)的内插公式：

旋转因子的周期性，知圈住的旋转因子值为1

分子是梳状滤波器，分母是一阶系统，第k个零点与该第k个极点抵消。

为什么有个极点为0呢？
将内插函数分子分母同乘以 ，即可看出，这里不再赘述。
内插函数只在本采样点处不为零。

5 频率响应的内插公式

用频域采样表示的内插公式

为什么要换种形式书写，有什么特性？

提取公因式，写成欧拉公式的形式。
2个部分的kπ互补，作用相互抵消了，所以kπ可去掉，直接不写了。
换元，即可推导得出。

频率响应的内插函数的幅度特性与相位特性：

各个内插函数延伸叠加而得到的。

6 小结

频域与时域采样恢复具有对偶性质。