暴走的二萌
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线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法

第一章 线性代数中的线性方程组

第六章 正交性和最小二乘法

1.1 线性方程组

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系数矩阵；增广矩阵

对增广矩阵的行初等变换

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第1张图片
行等价：两个矩阵是行等价的，若其中一个矩阵可以经一系列行初等变换成另一个矩阵。
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解集的存在性与唯一性问题

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1.2 行化简与阶梯型矩阵

定义：阶梯型

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线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第3张图片

定理1：简化阶梯形矩阵的唯一性

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定义：主元位置 主元列

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对应于主元列的变量：基本变量
其他变量（没有先导元素）：自由变量

定理2：存在于唯一性定理

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第4张图片
线性方程组不相容：推出来0=b，没有解

1.3 向量方程

列向量：仅含一列的矩阵
数乘向量 二维和三维空间中的向量的几何表示 平行四边形法则（向量加法），减法：减向量指向被减向量
线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第5张图片

向量的线性组合：向量方程

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向量方程和线性方程组相同解线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第6张图片

向量组张成

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1.4 矩阵方程Ax=b

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矩阵A的各列是向量，拆开和向量方程其实一样：

定理3：三种观点看线性方程组：矩阵方程、向量方程或线性方程

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第9张图片
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定理4：本章最有用的命题之一

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第10张图片

矩阵-向量积

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1.5 线性方程组的解集

齐次线性方程组 平凡解和非平凡解

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非齐次线性方程组的解

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相当于Ax=0的解空间平移了向量p得到。

1.7 线性无关

定义：线性组的线性无关和线性相关

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第12张图片

矩阵各列的线性无关

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第13张图片

观察两个向量的线性无关

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定理7：观察多个向量（线性相关集）的特征

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定理8：扁的矩阵总是线性相关

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变量个数>方程个数，总是存在自由变量，必有非平凡解

定理9：零向量的线性相关性

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让零向量的系数不为0即找到了一组非平凡解。

1.8 线性变换

基本概念

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线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第15张图片

线性变换

  1. 矩阵的性质
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  2. 线性变换
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    矩阵变换都是线性变换。
    线性变换保持向量的加法运算和标量乘法运算
  3. 推论
    线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第16张图片

1.9 线性变换的矩阵：如何寻找矩阵A

定理10

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第17张图片
这里A称为线性变换T的标准矩阵。

存在与唯一性问题：满射和单射

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定理11

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仅有平凡解时Ax=0才只有一个解

定理12

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第二章 矩阵代数

2.1 矩阵运算

定理1 加法 标量

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定义

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矩阵乘积法则

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定理2 矩阵乘法性质

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定理3 矩阵转置

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2.2 矩阵的逆

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因为可逆被认为是一种优良的性质，所以不可逆矩阵很奇异。

定理4 可逆矩阵计算公式

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定理5 可逆矩阵方程的解

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定理6 可逆矩阵的性质

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初等矩阵

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定理7

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求A逆的算法

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2.3 可逆矩阵的特征

定理8

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可逆线性变换

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2.4 分块矩阵

分块矩阵乘法

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定理10 AB的列行展开

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2.5 矩阵因式分解

LU分解

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A可以化简为一个下三角矩阵*和A等价的阶梯型矩阵。

LU分解算法

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2.8 Rn的子空间

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子空间对加法和标量乘法的运算是封闭的。

矩阵列空间与零空间

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定理12：零空间是子空间

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子空间的基

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定理13

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2.9 维数与秩

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第29张图片

维数

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秩和维数的关系

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秩定理

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定理15 基定理

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可逆矩阵定理

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6.1 内积、长度和正交性

内积：

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线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第32张图片

定理1：内积性质

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第33张图片

长度：向量的长度的平方=自身与自身的内积

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向量的距离

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注：向量减法，减向量指向被减向量

正交向量

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定理2：勾股定理

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正交补

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定理3：矩阵行向量空间和列向量空间的正交补

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6.2 正交集

正交向量集

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定理4：正交向量集的线性无关性

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正交基

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定理5：正交基下计算系数

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正交投影

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第34张图片
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单位正交集 单位正交基

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定理6 单位正交基矩阵的性质

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定理7：长度不变性 内积不变性

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第35张图片

6.3 正交投影

定理8：正交分解定理

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第36张图片
线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第37张图片

正交投影的几何意义

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第38张图片

定理9：最佳逼近定理 正交投影的性质

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第39张图片

定理10：基为单位正交基时的简化形式

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第40张图片

6.4 格拉姆-施密特方法：构造正交基或标准正交基的算法

定理11：格拉姆-施密特方法

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第41张图片
依次减去在已经构造好的正交基上的投影向量，最终张成的空间却不变。标准正交基只需要单位化所有v。

矩阵的QR分解

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
Col是A的列向量所张成的空间。为了得到Q，常常需要对A左乘一系列正交矩阵（由格拉姆，施密特方法构造得出）得到一个上三角矩阵（Q），这个过程类似于A左乘一系列初等矩阵最后得到A的LU分解。

6.5 最小二乘问题

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线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第42张图片

最小二乘法的解

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定理14

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定理15：A的列不正交时的解

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6.7 内积空间

内积空间

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第43张图片

长度、距离和正交性

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第44张图片
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两个不等式

线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第45张图片
线性代数及其应用 | 第六章 正交性和最小二乘法_第46张图片

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    oracle 系统时间有 SYSDATE 与 SYSTIMESTAMP； SYSDATE：不支持毫秒，取的是系统时间； SYSTIMESTAMP：支持毫秒，日期，时间是给时区转换的，秒和毫秒是取的系统的。 日期转字符窜： 一、不取毫秒： TO_CHAR(SYSDATE, 'YYYY-MM-DD HH24:MI:SS') 简要说明， YYYY 年 MM   月
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