详解样条曲线（上）（包含贝塞尔曲线）

样条曲线（Spline Curves）

前言： 关于样条曲线的一些总结和使用，其中包含贝塞尔曲线的介绍。内容实际是为了解决在给定控制点的条件下，如何确定一个光滑曲线的问题。样条曲线被广泛应用于模型的几何重构平滑中。
下启：样条曲线(下)之插值问题

0. 基本概念

样条曲线(Spline Curves)： 是给定一系列控制点而得到的一条曲线，曲线形状由这些点控制。一般分为插值样条和拟合样条。

插值：在原有数据点上进行填充生成曲线，曲线必经过原有数据点。

拟合：依据原有数据点，通过参数调整设置，使得生成曲线与原有点差距最小（最小二乘），因此曲线未必会经过原有数据点。

1. 起源

样条曲线起源于一个常见问题，即已知若干点的条件下，如何得到通过这些点的一条光滑曲线？

一个简单且行之有效的方法是，把这些点作为限制点，然后在这些限制点中放置一条具有弹性的金属片，最后金属片绕过这些点后的最终状态即为所需曲线。而最终得到的形状曲线，就是样条曲线。这也是该名字的由来，其中金属片就是样条，形成的曲线就是样条曲线。如下图

该想法虽然巧妙，但显然不具有推广性。因此问题就出来了，如何将其抽象出一个数学模型，从而在已知控制点条件下，仅仅通过数学公式从而获得平滑的样条。

再简化一些，问题便是，如何在两点间进行插值，整体上获得一个平滑曲线。

贝塞尔曲线实际上就是一个样条曲线。可以通过多个控制点，插值获得一个平滑曲线。何为贝塞尔曲线？

2. 贝塞尔曲线（Bézier curve）

1.1 直线段表示（2 points）

从最简单的问题入手，假设有两点$P_0,P_1$（端点），如何根据两点确定一条(曲)线？

最简单的问题也有最简单的解答，确定的这条线就是连接$P_0,P_1$ 两点的线段。从计算机的角度而言，本没有连续的线，因为计算机数据本身就是离散的，因此计算机中线的描述也只是由无数个点组成。

那么，如何用计算机绘制出这条线呢，确切说，如何表达这条线段上任何位置的坐标呢？（其实本质上就是在两点间插值）

解答同样简单，线段上任意位置点坐标可以用一个比例参数 t 来表示，表达式为
$$\begin{gathered} P_x=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+t{P}_1,t\in [0,1] \\ here,\frac{P_0{P}_x}{P_0{P}_1}=t \end{gathered}$$
实际上这就是一次的贝塞尔曲线的表达式。之所以为称为一次，是因为式中 t 的最高幂次为 1。对于式子的不同理解可以为，$(1-t)$ 为 $P_0$ 权重，t 为 $P_1$ 权重，权重越大，越靠近对应的点。

1.2 抛物线三切线定理（3 points）

问题来到三个点，即如果知道三个点 $P_0,P_1,P_2$，且 $P_0,P_2$ 为端点，那么如何确定一条曲线呢？（理解贝塞尔曲线时，可以把$P_1$看作是控制点，我们要的是在控制点下，对$P_0,P_2$ 两点间的插值）

最简单的想法是，直接连接 $P_0,P_1$ 和 $P_1,P_2$，得到两个线段就可以确定一个曲线，但这明显不是我们想要的，它不够平滑，往往一阶导还不连续（即不满足c1连续，下有详细叙述）。

第二个想法，可以考虑借用二次曲线，但如何在知道三点的情况下确定一个二次曲线呢？

最简单做法是列三个方程组，解方程，然后得到一个二次函数，也即确定了二次曲线，且通过已知的三点。同样，递推到更多已知点，也可以用相似的方法。对于 n 个点，可以使用 n-1 阶次的函数来确定一个唯一的曲线。这种方法也即是常用的多项式插值。前面，提到插值的特点在于，所有已知点都在最终确定的曲线上。

如何使用前述把$P_1$当作控制点的思路来解决这个问题呢？即没必要所有点都处在最终确定的曲线上，是否可以参考上面两点情况下，使用权重或是比例参数 t 来确定一条曲线呢？

现在的目的就是，使用三点确定任意一点$P_x$ ，且最终由无数个$P_x$ 点形成的曲线连续可导（c1连续）。依据上面两点坐标下确定曲线任意点的思路，异想天开一下。先将三个点划分为两组，即$P_0,P_1$和$P_1,P_2$。对于两组点，分别使用上面结论，那么在参数 t 下，两组分别确定了两个任意点，记为 $P_i,P_j$ ，也即
$$\begin{gathered} P_i=(1-t)P_0+P_1 \\ {P}_j=(1-t)P_1+p_2 \end{gathered}$$
可参考下图中的 $P_i,P_j$ 。

但我们想要的是由 $P_0,P_1,P_2$ 三个点确定的唯一点 $P_x$，而现在我们得到了两个点，那再使用一次 上面公式不就可以了。也即
$$P_x=(1-t)P_i+t{P}_j$$
问题解决了。

幸运的是，对于$t\in [0,1]$ 最终确定的线是可导、平滑的。想法有点异想天开，但还是要总结一下，在基于此想法下，用到了三次上面两点下任意点的求法，且有
$$\frac{P_0{P}_i}{P_0{P}_1}=\frac{P_1{P}_j}{P_1{P}_2}=\frac{P_j{P}_x}{P_i{P}_j}=t$$
最终结果
$$P_x=(1-t)P_i+t{P}_j=(1-t)[(1-t)P_0+t{P}_1]+t[(1-t)P_1+t{P}_2]=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2$$

实际上，上述描述的就是抛物线的三切线定理（性质）。即对于一个抛物线，经过线上两点 $P_0,P_2$ 的两个切线相交于 $P_1$ 点，经过在 $P_0,P_2$ 间抛物线一点 $P_x$ 的切线，与上述确定的两条切线交于 $P_i,P_j$ 。则有
$$\frac{P_0{P}_i}{P_0{P}_i}=\frac{P_1{P}_j}{P_1{P}_2}=\frac{P_j{P}_x}{P_i{P}_j}$$
如果令该比值为 t ，三个方程，三个未知点。最终可以同样反推到上述结果
$$P_x=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2$$
该结果，就是二次的贝塞尔曲线。同样二次的含义在于，t 的最高幂次为 2

前面"异想天开"的想法，在于说明，贝塞尔曲线是递推的，或者说是可以递推的。二阶贝塞尔曲线是两个一阶贝塞尔曲线的线性组合。同样的思维，三阶贝塞尔曲线由两个二阶贝塞尔曲线线性组合。因此我们可以确定三阶、四阶，以至于更高阶。

值得说明的是，photoshop中的钢笔工具就是应用的三次贝塞尔曲线。

1.3 通用公式

假设一共有 $n+1$ 个点 $P_0,P_1,\cdots ,P_n$ ，这 $n+1$ 个点确定了 n 次的贝塞尔曲线。

n 阶贝塞尔曲线 $B^n(t)$ 可以由前 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 $B^{n-1}(t|P_0,\cdots ,P_{n-1})$ 与 后 n 个点决定的 n-1 次贝塞尔曲线 $B^{n-1}(t|P_1,\cdots ,P_n)$ 线性组合递推而来，即
$$B^n(t|P_0,P_1,\cdots ,P_n)=（1-t）B^{n-1}(t|P_0,P_1,\cdots ,P_{n-1})+t{B}^{n-1}(t|P_1,P_2,\cdots ,P_n)$$
且一次贝塞尔曲线，即为由两点决定的线段，也即
$$B^1(t|P_0,P_1)=(1-t)P_0+t{P}_1$$
可以得到 n 次贝塞尔曲线的表达通式为
$$B(t)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(1-t{)}^{n-i}{t}^i{P}_i$$

1.4 代码实现

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import comb

def inputPoints():
	controlPoints = []
	num = 1
	while True:
		print('\nenter %dst control point:'%num)
		x = input('x:')
		y = input('y:')
		#z = input('z:')
		print('Point:[%f,%f]'%(float(x),float(y)))
		i = input('Are you sure?(y or n)')
		if i=='y' or i=='Y':
			controlPoints.append([float(x),float(y)])
			inp = input('continue entering points or not?(y or n)')
			num = num + 1
			if inp == 'n':
				break
		else:
			continue

	#print(controlPoints)
	return controlPoints

def getInterpolationPoints(controlPoints, tList):
	n = len(controlPoints)-1
	interPoints = []
	for t in tList:
		Bt = np.zeros(2, np.float64)
		for i in range(len(controlPoints)):
			Bt = Bt + comb(n,i) * np.power(1-t,n-i) * np.power(t,i) * np.array(controlPoints[i])
		interPoints.append(list(Bt))

	return interPoints

if __name__ == '__main__':
#	points = inputPoints()
	points = [[1,1],[3,4],[5,5],[7,2]]
	tList = np.linspace(0,1,50)
	interPointsList = getInterpolationPoints(points, tList)
	x = np.array(interPointsList)[:,0]
	y = np.array(interPointsList)[:,1]

	plt.plot(x,y,color='b')
	plt.scatter(np.array(points)[:,0],np.array(points)[:,1],color='r')
	plt.show()

结果

说明

• 实现使用了二维点，应该可以更高维
• 结果展示了三次贝塞尔曲线，由四个控制点(红色)生成

3. 曲线连续性描述

上面提到了c1连续，在计算机图像学中，有详细描述

为理解说明，假设有两个曲线 $f(x),x\in [a,b]$ 和 $g(x),x\in [b,c]$，

$c^0$连续：即函数连续，不存在间断点。实例中$f(b)=g(b)$

$c^1$连续：函数的一阶可导且导数连续。实例中 $f^{\prime }(b)=g^{\prime }(b)$

$c^2$连续：函数的二阶可导且导数连续。实例中 $f^{\prime \prime }(b)=g^{\prime \prime }(b)$

$c^n$连续：函数的$n$阶可导且导数连续。实例中 $f^{(n)}(b)=g^{(n)}(b)$

更详细说明和实例可以参考维基：光滑函数

4. B样条基函数（B-Spline Basis Function）

4.1 多段贝塞尔曲线

在剖物线三切线定理中，最初想法是三点直接相连，得到曲线虽然 $c^0$ 连续，但不满足 $c^1$ 连续。为了解决这个问题，进而使用了二次的贝塞尔曲线。

问题是，对于一个复杂弯曲的曲线，我们希望使用一个贝塞尔曲线来插值获得目标曲线，为此我们可以通过增加控制点来进行插值。但目标曲线越复杂，需要的控制点就越多，而 贝塞尔曲线幂次 = 控制点个数 - 1，即需要的计算也越复杂。该方法虽然可行，但是不明智的，低效率的。另外对于单一的贝塞尔曲线，改变其中一个控制点，那么整条曲线都会随之改变。

因此对于复杂曲线，一般做法是，使用三次贝塞尔曲线（常用次）一段一段地拼接成目标曲线，正如 Ps 或 Ai 中使用钢笔工具画出物体轮廓所做的那样。 如果使用这种方法，确保最终整体曲线 $c^1$ 连续的条件是 在连接点出两侧的斜率相等，即连接点和其两侧控制点共线。

下图是由两个三次贝塞尔曲线组成的曲线

假设从左到右点依次为 $P_0,P_1,\cdot ,P_7$ ，确保两段曲线拼接起来 $c^1$ 连续的条件就是 $P_2,P_3,P_4$ 三点共线。

4.2 从贝塞尔曲线到B样条基函数

4.2.1 贝塞尔曲线

回到最初问题上，通过一系列点，获取一条光滑的曲线。也即通过这些控制点，生成一系列点坐标，这些点坐标形成光滑曲线。

对于贝塞尔曲线上点的生成，是通过如下方程函数
$$B(t)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(1-t{)}^{n-i}{t}^i{P}_i,t\in [0,1]$$
或者展开写成这样
$$B(t)=W_{t,n}^0{P}_0+W_{t,n}^1{P}_1+\cdots +W_{t,n}^n{P}_n$$
其中 $W_{t,n}^0$ 为$P_0$ 前系数，是最高幂次为 n 的关于 t 的多项式。当 t 确定后，该值就为定值。

因此整个式子可以理解为 B(t) 插值点是这 n+1 个点施加各自的权重 W 后累加得到的。这也是为什么改变其中一个控制点，整个贝塞尔曲线都会受到影响。

其实对于样条曲线的生成，思路就是这样的，最终曲线的生成，就对于各个控制点施加权重即可。在贝塞尔曲线中，该权重是关于 t 的函数即
$$W^i=C_n^i(1-t{)}^{n-i}{t}^i$$

在B样条中，只不过这个权重设置更复杂点，下面一点点剖析其B样条曲线形成的原理。

4.2.2 B样条

上面提到，生成曲线，本质上就是在控制点前增加一个权重，然后累加即可。那么B样条中权重是如何计算的呢？

先介绍几个概念，容易混淆的概念，不太理解其来由也没关系。下面会一点点指出其用处。

• 控制点：也就是控制曲线的点，等价于贝塞尔函数的控制点，通过控制点可以控制曲线形状。假设有 n+1 个控制点$P_0,P_1,P_2,\cdots ,P_n$
• 节点：这个跟控制点没有关系，而是人为地将目标曲线分为若干个部分，其目的就是尽量使得各个部分有所影响但也有一定独立性，这也是为什么B样条中，有时一个控制点的改变，不会很大影响到整条曲线，而只影响到局部的原因，这是区别于贝塞尔曲线的一点。节点划分影响到权重计算，可以预想到的是，实现局部性的影响的原理应该是在生成某区间内的点时，某些控制点前的权重值会为0，即对该点没有贡献，所以才有上述特点。事实上，就是如此的。先了解有这个概念即可。假设我们划分了 m+1 个节点 $t_0,t_1,\cdots ,t_m$，将曲线分成了 m 段
• 次与阶 ：次的概念就是贝塞尔中次的概念，即权重中 t 的最高幂次。而 阶=次+1。这里只需要知道次这个概念即可。假设我们用 k 表示次，即 k 次。

下面用一个实例来说明

如上图，对应为

控制点有 n+1 = 5 个，n=4，即 $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$

节点规定为 m+1 = 10 个，m=9，即 $t_0,t_1,\cdots ,t_9$ ，该节点将要生成的目标曲线分为了 9 份，这里的 t 取值一般为 0-1的一系列非递减数。如 0 代表起始位置，1 代表末位置，0.5 代表一半的位置。$t_0,t_1,\cdots ,t_9$ 组成的序列，叫做节点表。如等分的节点表 $\{0,\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{3}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9},1\}$ 。

次为 k 。实际上有个必须要满足的关系式为 $m=n+k+1$ ，即 $k=m-n-1=4$ ，先对这个关系式有个印象即可。

下面开始用上面例子说明 B样条 是如何工作的。

我们的目的就是获取最终样条曲线，而根据前述，也即是获得任意点的坐标值，即 $t\in [0,1]$ 时，获得一系列的点，这些点最终组成了目标曲线。这些点的坐标可以表示为 各控制点 $P_i$ 与其权重 $W_i$ 的乘积再累加，即
$$B(t)=\sum _{i=0}^n{W}_i{P}_i$$
也即我们获得 $W_i$ 即可。$W_i$ 是关于 t 的函数，最高幂次为 k。B样条中通常记为 $B_{i,k}(t)$ ，即 表示第 i 点的权重，关于 t 的函数，且最高幂次为 k。而这个权重函数 $B_{i,k}(t)$ ，在B样条里叫做 k次B样条基函数。

下面就是关键，权重函数 $B_{i,k}(t)$ 是如何取值的？这里就要用到前面的节点表的值了。针对上面实例，我们现在的目标是获取 5 个控制点$P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ 对应的 5 个权重值 $B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4},B_{3,4},B_{4,4}$

B样条是如何做的？先看如下一个列表

我们的目标是获得右侧五个值，这里 k 的取值假设是不知道的（虽然是 4 ），大可当作不知道。

表中 $b_{i,k}$ 代表含义跟 $B_{i,k}$ 是一样的，因为不是我们需要的最终值，而是需要求解的中间递推值，所以用小写表示。对于B样条权重，其是根据节点来计算，理论上，m+1个节点，可以得到如表所示的，每个k对应 9(m=9) 个b值，但我们最终只需要5个值，所以就需要对应规则限制。B样条获取5个权重值过程和规则如下（B样条基函数）

k = 0 时，即 0 次时，如果 $t\in [t_j,t_{j+1}]$ ，那么规定 $b_{j,0}=1$， 其余都为 0。如 $t\in [t_2,t_3]$ 就有如下结果

k = 1 时，$b_{j,1}$ 取值与低一次的相邻两节点相关，即与 0 次同域两端的节点相关。即 $b_{j,1}$ 求解与$b_{j,0},b_{j+1,0}$ 相关，如 $b_{1,1}$ 就是依据 $b_{1,0},b_{2,0}$ 求得。求解关系形式为
$$b_{j,1}=A(t)b_{j,0}+B(t)b_{j+1,0}$$
这里 A(t), B(t) 是关于 t 的一次幂函数。具体为
$$\begin{gathered} A(t)=\frac{t-t_j}{t_{j+k}-t_j} \\ B(t)=\frac{t_{j+k+1}-t}{t_{j+k+1}-t_{j+1}} \end{gathered}$$
这里又涉及到“莫名其秒的下标，但涉及下标的那些值都为定值，此时只要记得是关于 t 的一次函数即可。这里有点类似与贝塞尔函数中递推过程中的前两值的线性组合。

我们用箭头表示上述计算过程，如下

值得说明的两点：

• 在$b_{j,1}$ 中，有些值会取 0，因为在 0 次的 b 值有 0 。观察我们可以很容易的值，此时值为 0 的有 $b_{0,1},b_{3,1},b_{4,1},b_{5,1},b_{6,1},b_{7,1}$ (注意：这是在 t 取值在 $[t_2,t_3]$ 范围的条件下)。而取值为非0的 $b_{1,1},b_{2,1}$ 都是关于 t 的一次函数（因为$A(t),B(t)$ 为 t 的一次函数）。前面提到想要使用局部控制曲线（而非全局）需要某些值为 0，所以是符合预期的。
• $b_{8,1}$ 是无法求解的，因为它需要 $b_{9,0}$ ，而该值不存在，所以，在 k=1 时，能得到的 $b_{j,1}$ 减少了 1 （k=1）个，共有8个。同样是令人振奋的结果，因为我们的目标是需要 5 个值（因为有5个控制点），多减少几个不就达到目标了嘛。

k = 2 时，同样的过程，不再以表列出，同样有些 $b_{j,2}$ 会取值为 0。有些值为非 0, 不同的一点在于，此时系数又乘了一次 A,B 函数，因此那些非 0 值，此时是关于 t 的二次幂函数。另外得到的 $b$ 减少了 **2（k=2）**个，还剩 $m-k=9-2=7$ 个。

k = x时，同样，非0值会是关于 t 的 x 次函数，这也是为什么 k 会是 t 的最高次幂。b 会减少 k 个，还剩 $m-k$ 。

我们最终那个需要 5 个（即 n+1 个）值，那么就需要有 $m-k=n+1$ ，也即 $m=k+n+1$ ，这便是上面说到的 $m,n,k$ 关系式的由来。所以实例中 $k=m-n-1=9-4-1=4$ ，即当 k=4 时，恰好还剩 5 个 b 值，就是我们需要的B样条基函数B。此时，最高幂次为 4。最终图表示意如下：

该图表表示的是在 t 取值在 $[t_2,t_3]$ 范围时，求得的 5 个控制点对应的权重$B_{j,4}$（基函数），最终结果$B_{0,4},B_{1,4},B_{2,4}$ 都为非0值，且是关于 t 的四次函数，$B_{3,4},B_{4,4}$ 为 0。 也就是说，本例中，$[t_2,t_3]$ 区间的曲线上点不受第四和第五个控制点变化的影响。

这就是所有的 B样条曲线生成的工作原理。

值得注意的几点性质：

• 对于 $t\in [t_j,t_{j+1}]$ 时，最终非零 $B_{j,k}$为 $B_{j-k,k},\cdots ,B_{j,k}$ （如果$j-k>=0$的话），即第 $j-k$ 至第 $j$ 个控制点控制影响着 $[t_j,t_{j+1}]$ 区间内曲线点。可进行局部控制。
• 最终所得曲线结果一般不会经过控制点，因为最终得到的非0权重始终不止一个
• $t_i$ 为非递减的，可以取重值
• 对于图中，

4.2.3 一般数学描述

将上面过程作为严谨的数学描述

对于 n+1 个控制点 $P_0,P_1,\cdots ,P_n$ ，有一个包含 m+1 个节点的列表（或节点向量）$t_0,t_1,\cdots ,t_m$ ，其 k 次B样条曲线表达式为（且m=n+k+1）
$$P(t)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,k}(t)P_i$$
其中 $B_{i,k}(t)$ 称为 k 次 B 样条基函数，也叫调和函数。且 $B_{i,k}(t)$ 满足如下递推式（de Boor递推式）
$$\begin{gathered} k=0,B_{i,0}(t)=\{\begin{array}{c}1,t\in [t_i,t_i+1]\\ 0,Otherwise\end{array} \\ k>0,B_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}{B}_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}{B}_{i+1,k-1}(t) \end{gathered}$$

5. 分类

• 均匀 B 样条：节点均匀分布
• 准均匀 B 样条：在开始和结束处的节点可重复，中间节点均匀分布
• 非均匀 B 样条：节点非均匀分布
• 分段贝塞尔曲线
• PLUS（挖坑）：B样条无法描述圆锥曲线，为解决此问题，产生了非均匀有理B样条（non-uniform rational b-spline, NURBS）

6. 代码实现及验证的一些重要问题

6.1 完整python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算在某一特定t下的 B_{i,k}
def getBt(controlPoints, knots, t):
	# calculate m,n,k
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	# initialize B by zeros 
	B = np.zeros((k+1, m))

	# get t region
	tStart = 0
	for x in range(m+1):
		if t==1:
			tStart = m-1
		if knots[x] > t:
			tStart = x-1
			break
	 
	# calculate B(t)
	for _k in range(k+1):
		if _k == 0:
			B[_k, tStart] = 1
		else:
			for i in range(m-_k):
				if knots[i+_k]-knots[i]== 0:
					w1 = 0
				else:
					w1 = (t-knots[i])/(knots[i+_k]-knots[i]) 
				if knots[i+_k+1]-knots[i+1] == 0:
					w2 = 0
				else:
					w2 = (knots[i+_k+1]-t)/(knots[i+_k+1]-knots[i+1])
				B[_k,i] = w1*B[_k-1, i] + w2*B[_k-1, i+1]
	return B

# 绘制 B_{i,k}(t)函数
def plotBt(Bt,num, i,k):
	print(k,i)
	Bt = np.array(Bt)
	tt = np.linspace(0,1,num)
	yy = [Bt[t,k,i] for t in range(num)]
	plt.plot(tt, yy)

# 根据最后一列（最高阶次）的 B(t)，即权重，乘以控制点坐标，从而求出曲线上点坐标
def getPt(Bt, controlPoints):
	Bt = np.array(Bt)
	ptArray = Bt.reshape(-1,1) * controlPoints
	pt = ptArray.sum(axis = 0)
	return pt

# 绘制出生成的样条曲线: useReg 表示是否使用曲线有效定义域[t_k, t_{m-k}]
def main1(useReg = False):
	controlPoints = np.array([[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]])
	knots = np.array([0,1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,1])
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	print('n:',n)
	print('m:',m)
	print('k:',k)
    
	for t in np.linspace(0,1,100):
		if useReg and not(t >= knots[k] and t<= knots[n+1]):
			continue
		Bt = getBt(controlPoints, knots, t)
		Pt = getPt(Bt[k, :n+1], controlPoints)
		plt.scatter(Pt[0],Pt[1],color='b')
	plt.scatter(controlPoints[:,0], controlPoints[:,1],color = 'r')
	plt.show()

# 绘制 B_{i,k} 变化图:如果不给定{i,k}则显示所有B{i,k}(t)图像
def main2(i=-1,k=-1):
	controlPoints = np.array([[50,50], [100,300], [300,100], [380,200], [400,600]])
	knots = np.array([0,1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,1])
	m = knots.shape[0]-1
	n = controlPoints.shape[0]-1
	k = m - n - 1
	print('n:',n)
	print('m:',m)
	print('k:',k)
	B = []
	num = 100 # 离散点数目
	for t in np.linspace(0,1,num):
		Bt = getBt(controlPoints, knots, t)
		B.append(list(Bt))

	figure1 = plt.figure('B_{i,k}')
	if i==-1:
		fig = []
		for i in range(n+1):
			for k in range(k+1):
				plotBt(B,num, i,k)
				fig.append('B_{%d,%d}'%(i,k))
	else:
		plotBt(B,num, i,k)
		fig.append('B_{%d,%d}'%(i,k))
	plt.legend(fig)
	plt.show()   
    
if __name__ == '__main__':
    main1()
    main2()

6.2 结果

• $b_{i,k}(t)$ 随 t 的变化

我们需要的是 $B_{i,4}=b_{i,4}$ ,如下

且最终结果
$$P(t)=B_{0,4}(t)P_0+B_{1,4}(t)P_1+B_{2,4}(t)P_2+B_{3,4}(t)P_3+B_{4,4}(t)P_4$$
观察曲线可以得知（其实是分析数据），当 $t\in [t_4,t_5]$ 即 $t\in [4/9,5/5]$ 时，$B_{i,4}$ 都为非零值，也就是说该区间的点是由基函数完全定义的。

该区间可以一般性的写为 $[t_k,t_{m-k}]$ ，该域也称作某些特定生成曲线的定义域。

• 另外一些实际例子的结果
  • E1（均匀）

$$\begin{gathered} controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]] \\ knots=\{0,\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{3}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9},1\} \\ n=4,m=9,k=4 \end{gathered}$$

红色点为控制点，蓝色为要生成的目标曲线。

• E2（非均匀）

$$\begin{gathered} controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]] \\ knots=\{0,\frac{1}{9},\frac{1.5}{9},\frac{5}{9},\frac{5.5}{9},\frac{8}{9},1\} \\ n=4,m=6,k=1 \end{gathered}$$

• E3（重复点）

$$\begin{gathered} controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]] \\ knots=\{0,0,\frac{2}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},1,1,1\} \\ n=4,m=7,k=2 \end{gathered}$$

• E4（重复点）

$$\begin{gathered} controlPonts=[[50,50],[100,300],[300,100],[380,200],[400,600]] \\ knots=\{0,0,0,\frac{4}{9},\frac{5}{9},1,1,1\} \\ n=4,m=7,k=2 \end{gathered}$$

6.3 一些观察结果

• 节点列表的选择相当重要，会影响到最终曲线效果。一般情况下，全均匀分布的貌似效果不好？或者应该在此情况下考虑其定义域，定义域$[t_k,t_{m-k}]$ 内的曲线效果良好。
• 准均匀的样条曲线看起来很好。一个特别之处是，当在两个端点(即 t=0和1)时，如果节点列表分别重复有 k+1 次，那么该端点就类似于贝塞尔曲线端点。即，曲线会经过两端点，且与端点和相邻点连线相切。
• 应该有一些比较好用基于经验化的节点列表，或是好用的幂次样条曲线。

详细样条曲线插值原理见下篇: 样条曲线(下)之插值问题