详解 图像旋转变换 原理

1、简介

旋转变换是计算机图像学中应用非常广泛的一种变换，为了后面解释的需要，我们也添加了平移变换、缩放变化等内容。文章重点介绍关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。

2、平移变换

将三维空间中的一个点 $[x,y,z,1]$ 移动到另外一个点 $[x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },1]$，三个坐标轴的移动分量分别为$dx=Tx,dy=Ty,dz=Tz,$ 即

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+Tx\\ y^{\prime }=y+Ty\\ z^{\prime }=z+Tz\end{array}$$

平移变换的矩阵如下。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& Tx\\ 0& 1& 0& Ty\\ 0& 0& 1& Tz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

3、缩放变换

将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是 $[x,y,z,1]$，变换后的点是 $[x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },1]$，那么

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\ast S_x\\ y^{\prime }=y\ast S_y\\ z^{\prime }=z\ast S_z\end{array}$$

缩放变换的矩阵如下。

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{S}_x& 0& 0& 0\\ 0& S_y& 0& 0\\ 0& 0& S_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

3、逆矩阵

平移变换矩阵的逆矩阵与原来的平移量相同，但是方向相反。

$$T^{-1}\cdot T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -T_x\\ 0& 1& 0& -T_y\\ 0& 0& 1& -T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& T_x\\ 0& 1& 0& T_y\\ 0& 0& 1& T_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=I$$

旋转变换矩阵的逆矩阵与原来的旋转轴相同但是角度相反。

$$R^{-1}\cdot R=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & sin\theta & 0\\ 0& -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=I$$

$$R^{-1}\cdot R=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=I$$

$$R^{-1}\cdot R=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & sin\theta & 0& 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=I$$

4、旋转变换

4.1 绕原点二维旋转

首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：

如图所示点 $(x,y)$ 绕原点 逆时针旋转 $\theta$ 角 ，得到点 $(x^{\prime },y^{\prime })$

注：此处为逆时针旋转，因此旋转过后的 $(x^{\prime },y^{\prime })$ 坐标采用 $(\alpha +\theta )$ 而不是 $(\alpha -\theta )$

矩阵解释：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

利用矩阵乘法展开为

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cdot cos\theta -y\cdot sin\theta \\ y^{\prime }=x\cdot sin\theta +y\cdot cos\theta \end{array}$$

极坐标解释：

此处不用直角坐标系解释，极坐标解释更便于理解
$(x,y)$ 坐标：$\{\begin{array}{l}x=r\cdot cos\alpha \\ y=r\cdot sin\alpha \end{array}$

$(x^{\prime },y^{\prime })$ 坐标：$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=r\cdot cos(\alpha +\theta )\\ =r\cdot cos\alpha \cdot cos\theta -r\cdot sin\alpha \cdot sin\theta \\ =x\cdot cos\theta -y\cdot sin\theta \\ \\ y^{\prime }=r\cdot sin(\alpha +\theta )\\ =r\cdot sin\alpha \cdot cos\theta +r\cdot cos\alpha \cdot sin\theta \\ =x\cdot cos\theta +y\cdot sin\theta \end{array}$

4.2 绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：

1. 首先将旋转点移动到原点处
2. 执行如2所描述的绕原点的旋转
3. 再将旋转点移回到原来的位置

也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是 $T(x,y)$，也就是说我们需要得到的坐标 $v^{\prime }=T(x,y)\ast R\ast T(-x,-y)$（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行 $T(-x,-y)$

在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。

对于二维平移，如下图所示，$P$ 点经过x和y方向的平移到 $P^{\prime }$ 点，可以得到：

$\{\begin{array}{l}x\prime =x+t_x\\ y\prime =y+t_y\end{array}$

由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用 $(x，y，w)$ 的方式（一般 $w=1$ ），于是可以写成下面矩阵的形式

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。其中平移矩阵是

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

此时将绕原点二维旋转中描述的旋转矩阵也扩展到 3x3 的方式，变为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

从平移和旋转的矩阵可以看出，3x3 矩阵的前 2x2 部分是和旋转相关的，第三列与平移相关。有了上面的基础之后，我们很容易得出二维中绕任意点旋转的旋转矩阵了，只需要把三个矩阵乘起来即可：

$$M=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& tx\\ 0& 1& ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -tx\\ 0& 1& -ty\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

4.3 三维基本旋转

我们可以把一个旋转转换为绕基本坐标轴的旋转，因此有必要讨论一下绕三个坐标值 $x,y,z$ 的旋转。

本文在讨论过程中使用的是类似于OpenGL中定义的右手坐标系，同时旋转角度的正负也遵循右手坐标系的约定。如下图所示

4.3.1 绕X轴的旋转

在三维场景中，当一个点 $P(x,y,z)$ 绕 $X$ 轴旋转 $\theta$ 角得到点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$。由于是绕 $X$ 轴进行的旋转，因此 $X$ 坐标保持不变，$Y$ 和 $Z$ 组成的 $YOZ$（ $O$是坐标原点）平面上进行的是一个二维的旋转，可以参考上图（$Y$轴类似于二维旋转中的 $X$ 轴，$Z$ 轴类似于二维旋转中的 $Y$轴），于是有：

$\{\begin{array}{l}x\prime =x\\ y\prime =ycos\theta -zsin\theta \\ z\prime =ysin\theta +zcos\theta \end{array}$

写成（4x4）矩阵的形式

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

4.3.2 绕Y轴旋转

绕 $Y$ 轴的旋转和绕 $X$ 轴的旋转类似，$Y$ 坐标保持不变，除Y轴之外，$ZOX$组成的平面进行一次二维的旋转（$Z$轴类似于二维旋转的$X$轴，$X$ 轴类似于二维旋转中的 $Y$ 轴，注意这里是 $ZOX$ ，而不是 $XOZ$，观察上图中右手系的图片可以很容易了解到这一点），同样有：

$\{\begin{array}{l}x\prime =zsin\theta +xcos\theta \\ y\prime =y\\ z\prime =zcos\theta -xsin\theta \end{array}$

写成（4x4）矩阵的形式

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

4.3.3 绕Z轴旋转

与上面类似，绕 $Z$ 轴旋转，$Z$ 坐标保持不变，$XOY$组成的平面内正好进行一次二维旋转（和上面讨论二维旋转的情况完全一样）

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & -sin\theta & 0& 0\\ sin\theta & cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

4.4 小结

上面描述了三维变换中绕单一轴旋转的矩阵表达形式，绕三个轴旋转的矩阵很类似，其中绕y轴旋转的矩阵与绕 $X$ 和 $Z$ 轴旋转的矩阵略有点不同（主要是三个轴向顺序和书写矩阵的方式不一致导致的，绕三个不同坐标旋转轴以及其他二个坐标轴组成平面的顺序是： $XYZ$ (绕 $X$ 轴） $YZX$（绕$Y$ 轴） $ZXY$（绕 $Z$ 轴），其中绕 $Y$ 轴旋转，其他两个轴是 $ZX$，这和我们书写矩阵按

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

的方式不一致，而导致看起来绕 $Y$ 轴旋转的矩阵似乎是和其他两个矩阵不一致。如果我们颠倒写法，将公式写成

$$\left[\begin{array}{c}{z}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ x^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}cos\theta & 0& -sin\theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ sin\theta & 0& cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}z\\ y\\ x\\ 1\end{array}\right]$$

的方式，那么这三个旋转矩阵看起来在形式上就统一了，都是

$$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ cos\theta & sin\theta \end{array}\right]$$

这种表现形式了（右上角都是 $-sin\theta$ ）

5、绕任意轴的三维旋转

绕任意轴旋转的情况比较复杂，主要分为两种情况，一种是平行于坐标轴的，一种是不平行于坐标轴的。

5.1 平行坐标轴

对于平行于坐标轴的，我们首先将旋转轴平移至与坐标轴重合，然后进行旋转，最后再平移回去。

1. 将旋转轴平移至与坐标轴重合，对应平移操作 $T$
2. 旋转，对应操作 $R$
3. 步骤1的逆过程，对应操作 $T^{-1}$

整个过程就是
$$P^{\prime }=T^{-1}\cdot R\cdot T\cdot P$$

5.2 不平行坐标轴

对于不平行于坐标轴的，可按如下方法处理。（该方法实际上涵盖了上面的情况）

绕任意轴的三维旋转可以使用类似于绕任意点的二维旋转一样，将旋转分解为一些列基本的旋转。绕任意轴旋转如下图所示：

1. 将旋转轴平移至原点
2. 将旋转轴旋转至 $YOZ$ 平面
3. 将旋转轴旋转至于 $Z$ 轴重合
4. 绕 $Z$ 轴旋转 $\theta$ 度
5. 执行步骤3的逆过程
6. 执行步骤2的逆过程
7. 执行步骤1的逆过程

图形详解过程：

步骤1：

将原旋转轴 $u$ 平移 $v$ 至过原点 $O$ ，对应矩阵操作

$$P_1=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& Tx\\ 0& 1& 0& Ty\\ 0& 0& 1& Tz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=T_1\cdot P$$

步骤2：

旋转操作，将 $u$ 绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角 至 $XOZ$ 平面，对应的图如下

$$P_2=\left[\begin{array}{cccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0& 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\\ 1\end{array}\right]=R_z\cdot P_1$$

步骤3：

步骤3也是一个旋转操作，将 $u$ 绕 $y$ 旋转 $\beta$ 至与 $x$ 轴重合，对应的图如下

$$P_3=\left[\begin{array}{cccc}cos\beta & 0& sin\beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin\beta & 0& cos\beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\\ 1\end{array}\right]=R_y\cdot P_2$$

步骤4：

此时原旋转轴经过一系列的操作，已经与 $x$ 轴重合了 ，即 $u^{\prime \prime }$ ，此时原来的 $P,Q$ 点已经映射到 $P^{\prime },Q^{\prime }$ ，只需将 $P^{\prime }$ 绕 $x$ 轴旋转 $\theta$ 角便可得到 $Q^{\prime }$ 点，此时的操作为：

$$P_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\\ z_3\\ 1\end{array}\right]=R_x\cdot P_3$$

步骤5：

此时再将 步骤3，2，1逆操作即可得到原始点 $P$ 点绕旋转轴 $u$ 旋转 $\theta$ 角后的点 $Q$；

对应的操作即为 $$Q=T^{-1}\cdot R_z^{-1}\cdot R_y^{-1}\cdot P_4$$

综述：

对于不平行于坐标轴的旋转其实已经包含了平行于坐标轴的旋转，因此对于绕任意轴的三维旋转可以总结为：

$$Q=M\cdot P$$
其中 $$M=T^{-1}\cdot R_z^{-1}\cdot R_y^{-1}\cdot R_x\cdot R_y\cdot R_x\cdot T$$

5.3 α,β,θ 角度补充

为了全文的排版，以及读者体验，上述解释全部采用的 $\alpha ,\beta ,\theta$ ，具体从何得来并没有做解释说明，在此将对 $\alpha ,\beta ,\theta$ 的缘由做个详细解释。

1. 在此，假设旋转轴 $u$ 由 $[(a_1,b_1,c_1),(a_2，b_2,c_2)]$ 表示
   

2. 旋转轴 $u$ 经过平移 $T_1$ 变换后过原点的旋转轴 $u^{\prime }$ ，$u^{\prime }$ 的坐标为 $(a,b,c)$
   

3. 旋转轴 $u^{\prime }$ 上的点 $(a,b,c)$
   在 $XOY$ 平面上的投影为 $OA(a,b,0)$
   在 $XOZ$ 平面上的投影为 $OB(a,0,c)$
   那么
   $$sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
   $$sin\beta =\frac{c}{\sqrt{a^2+c^2}},cos\beta =\frac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}$$
   

参考链接：

https://www.cnblogs.com/zhoug2020/p/7842808.html
https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2012/08/10/2627458.html