快速理解傅里叶变换

目录

一.理解函数

二.傅里叶变换是什么

三.公式

四.类别及一些概念辨析

五.傅里叶变换求解问题及应用

六.问题提出

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目录

二.傅里叶变换是什么

三.公式

四.类别及一些概念辨析

五.傅里叶变换求解问题及应用

六.问题提出

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一.理解函数

所有的函数都是由不同频率的许多正弦波组成的，时域到频域就将一个随时间变化的动态函数分解成各个静态的不同频率的波形，频域到时域的转换就是将原先这些正弦波叠加在一起的效果。参考下图。

二.傅里叶变换是什么

        我们平时看到的函数图像是沿着时间方向的，所有的正弦波叠加的结果，即上图的时域图像所示，傅里叶变换之后得到的结果是沿着频率方向的所看到的结果，将一个随时间变化的波形分解成各个不同频率的正弦波图像，这些正弦波有不同的幅度和相位，幅度对应的图像是上图所示的频域图像，相位对应的是从下面往上看的时候每一个不同频率的波形的第一个波峰点的相对位置。

三.公式

连续傅里叶变换及逆变换：

 离散傅里叶变换及逆变换：

四.类别及一些概念辨析

根据原信号的不同类型，可以把傅里叶变换分为四种类别：

1..非周期性连续信号傅里叶变换（FT，Fourier Transform）

2.周期性连续信号傅里叶级数（FS，Fourier Series）

3.非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）

4.周期性离散信号离散傅里叶变换（DFT，Discrete Fourier Transform）

DFT，是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。FFT(Fast Fourier Transformation)，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的，是利用计算机计算离散傅里叶变换(DFT)的高效、快速计算方法的统称。提高了运算速度，但也对参与运算的样本序列作出了限制，要求样本数为2的N次方，离散傅里叶变换DFT则无上述限制。FFT快，DFT灵活，各有优点，如果满足分析要求，两者准确度相同。

五.傅里叶变换求解问题及应用

        傅里叶变换是积分变换的一种，可以用来求解无界区域上的定解问题，可以把线性偏微分方程变为含有较少变量的线性偏微分方程或常微分方程，使问题得到简化。它把分析运算化为代数运算，但傅里叶变换要求原象函数在R上绝对可积，大部分函数不能做傅里叶变换；要求函数在升格数轴上有定义，研究混合问题时失效。

         求解步骤：

1.对方程两边做傅里叶变换将偏微分方程转换为常微分方程；

2.对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件

3.求常微分方程及定解条件的解

4.对解的变换式取相应逆变换，得到原问题的解

        应用：

        计算机上的声音和图像信号、工程上的任何波动信息、数学上的解微分方程、天文学上对遥远星体的观测，处处会用到傅里叶变换。傅里叶本质上是把一个复杂的事物拆解成一堆标准化的简单事物的方法。对于一个信号，我们一般看到的仅仅是它的时域波形，但多数情况下，我们需要了解这个函数的更多信息，因此需要从另一个维度去看这个信号，傅里叶变换就是从频域看这个信号比如在图像处理上就有图像增强与图像去噪；图像分割；图像特征提取；图像压缩等应用。FFT擅长消除有规律的污染和噪声

六.问题提出

读到这，你是否还存在很多疑问呢，比如：

连续傅里叶变换是如何转换为离散傅里叶变换的？

可参考：如何理解离散傅里叶变换及Z变换 - 知乎

傅里叶变换是如何解决实际问题的？

更多问题请评论交流。

 参考文章：一篇彻底搞懂傅里叶变换及其背后原理 - 知乎