生日蛋糕 （codevs 1710） 题解

【问题描述】

     7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i<M时，要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q= Sπ

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。

（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

【样例输入】

    100

    2

【样例输出】

    68

【解题思路】

      本题为NOI1999的题目，题目的意思是让我们去搜索合适的r和h，使得s最小。我们把某一步的状态设为（i,ri,hi,si,vi)，i表示从下往上数做到了第几层蛋糕，ri表示当前最上层蛋糕的半径，hi表示当前最上层蛋糕的高度，si表示当前蛋糕的表面积，vi表示做了当前蛋糕现在剩下的体积。

      于是乎，由题意可知，从(i,ri,hi,si,vi)到(i+1,r(i+1),h(i+1)s(i+1),v(i+1))满足以下条件： r(i+1)<ri;h(i+1)<hi;v(i+1）=vi-r(i+1)*r(i+1)*h(i+1);s(i+1)=si+2*r(i+1)*h(i+1);

      直接就这么搜索显然是不现实的，我们需要剪枝，那么，我们可以从下面几个方面想：

      1：当前表面积+剩余的侧面积>当前最优值，那么我们就可以剪枝了，关键在于剩余的侧面积该怎么算。这里有一个公式，是由2*vi推出来的，余下的侧面积>=2*vi/r(i+1)，因此，如果2*vi/r(i+1)+si大于当前最优值，那么我们就剪枝。这个叫做最优化剪枝。

      2：若剩余的体积比做最小的蛋糕的体积还要小，就可以剪枝了，而做最小的蛋糕的体积可以用倒推法，做第m层半径为1，高也为1，那么体积为1，做第m-1层半径为2，高也为2，那么体积为8……做第i+1层就半径为m-i，高也为m-i，那么体积为（m-i）^3，因此，从1循环到m-i把体积相加，再与现在的体积比较就行了。

      3：若剩余的体积比做最大的蛋糕的体积还要大，那也可以剪枝了，方法与2相同。2与3叫做可行性剪枝。

     然而，这道题却是在逗我们……

     你做着做着会发现，剪来剪去反而一个不好就把最佳答案给剪掉了，程序也长，最终迎来的还是红色的WA，可是，数据告诉我们，只要确定好s、h可能的值，那么只要用到最优化剪枝，便可以AC了……（经本人亲身实验，搞了一上午的剪枝，每一次都把方案给剪了，最终改了一下循环的初值和终值，去掉可行性剪枝都能轻松AC……加上可行性剪枝因为多了判断的时间反而耗时多了一点点……）这里我将两种程序都贴出来，希望哪位大神看到了能够告诉我我哪里剪错了……不胜感激。

【代码实现】

 1 uses math;

 2 var r,h,s,v,ans,n,m,i:longint;

 3 procedure search(i,r,h,s,v:longint);

 4 var a,b,c,d:longint;

 5 begin

 6  if i=m then

 7   begin

 8    if v=0 then

 9     if s<ans then

10      ans:=s;

11    exit;

12   end;

13  if s+2*v div r>ans then

14   exit;//最优化剪枝

15  for a:=r-1 downto m-i do//注意循环变量，自己去算一算，是可以到m-i的，而不是到i

16   for b:=min(v div (a*a),h-1) downto m-i do

17    begin

18     c:=s+2*a*b;

19     d:=v-a*a*b;

20     search(i+1,a,b,c,d);

21    end;

22 end;

23 begin

24  readln(n);

25  readln(m);

26  s:=0;

27  ans:=maxlongint;

28  for r:=m to trunc(sqrt(n)) do

29   for h:=n div (r*r) downto m do

30    begin

31     s:=2*r*h+r*r;

32     v:=n-r*r*h;

33     search(1,r,h,s,v);

34    end;

35  if ans=maxlongint then

36   ans:=0;

37  writeln(ans);

38 end.

 1 uses math;

 2 var r,h,s,v,ans,n,m:longint;

 3 procedure search(i,r,h,s,v:longint);

 4 var a,b,c,d,mini,k:longint;

 5 begin

 6  mini:=0;

 7  if s+((2*v) div r)>ans then

 8   exit;//剪枝1

 9  for k:=1 to m-i do

10   mini:=mini+k*k*k;

11  if v<mini then

12   exit;//剪枝2

13  mini:=0;

14  for k:=i+1 to m do

15   mini:=mini+sqr(r-k+i)*(h-k+i);

16  if v>mini then

17   exit;//剪枝3

18  if (i=m)and(v=0) then

19   if s<ans then

20    begin

21     ans:=s;

22     exit;

23    end;

24  for a:=r-1 downto i do

25   for b:=min(v div (a*a),h-1) downto i do

26    begin

27     c:=s+2*a*b;

28     d:=v-a*a*b;

29     search(i+1,a,b,c,d);

30    end;

31 end;

32 begin

33  readln(n);

34  readln(m);

35  ans:=maxlongint;

36  for r:=m to trunc(sqrt(n)) do

37   for h:=n div (r*r) downto m do

38    begin

39     s:=2*r*h+r*r;

40     v:=n-r*r*h;

41     search(1,r,h,s,v);

42    end;

43  if ans=maxlongint then

44   ans:=0;

45  writeln(ans);

46 end.