【算法基础】(一)基础算法 --- 二分

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专栏简介：该专栏主要更新一些基础算法题，有参加蓝桥杯等算法题竞赛或者正在刷题的铁汁们可以关注一下，互相监督打卡学习

一.数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
 
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
 
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式：

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
 
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
 
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式：

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
 
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围：

1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

注意：

有单调性的题目可以二分，二分不一定需要单调性（所以二分的本质不是单调性）

整数二分算法模板：

1. 检查x是否满足某种性质

boolean check(int x){
    /*
    ...
     */
}

2. 区间 [l,r] 被划分为 [l,mid] 和 [mid+1,r]时使用：

int bsearch1 (int l,int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

3. 区间 [l,r] 被划分成 [l,mid-1] 和 [mid,r] 时使用：

int bsearch2 (int l,int r){
    while (l < r){
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

综上我们可以看出两个模板之间差别并不大，主要在于mid取值俩边界的和要不要+1，那什么时候+1呢？从上我们可以看出当模板中 if 语句判断为true时，l = mid 的时候，如果不+1，此时出现 l = r - 1 的时候，我们的mid是永远等于 l 的，就会一直进入死循环，达不到边界，+1之后mid变成r停止循环了。

开始解题：

1. 首先按照题意输入两个数，第一个数n代表元素个数，第二个数m代表询问m次元素，还得需要一个数组来输入储存我们的n个手动输入的元素

Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int m = scanner.nextInt();
int[] arr = new int[n];
for(int  i = 0;i < n ; i ++){
    arr[i] = scanner.nextInt();
}

2. 循环体内执行我们二分（m次查找）

while(m -- > 0){
   ...
}

3. 用二分来查找

int x = scanner.nextInt();

int l = 0,r = n - 1;
while(l < r){
    int mid = (l + r) / 2;
    if(arr[mid] >= x) r = mid;
    else l = mid + 1;
}
if(arr[l] != x){
    System.out.println("-1 -1");
}else{
    System.out.print(l + " ");
    l = 0; r = n - 1;
    while(l < r){
        int mid  = (l + r + 1 ) / 2;
        if(arr[mid] <= x) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    System.out.println(l);
}

在这里再提及一下二分模板的实现，其实就是让左右边界确定中间值，然后对我们要找的元素进行比较，看情况通过 l 或者 r 的变化带动mid值找寻起始位置和终止位置

附上总的代码

public static void main(String[] args){
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    int n = scanner.nextInt();
    int m = scanner.nextInt();
    int[] arr = new int[n];
    for(int  i = 0;i < n ; i ++){
        arr[i] = scanner.nextInt();
    }
    while(m -- > 0){
        int x = scanner.nextInt();

        int l = 0,r = n - 1;
        while(l < r){
            int mid = (l + r) / 2;
            if(arr[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if(arr[l] != x){
            System.out.println("-1 -1");
        }else{
            System.out.print(l + " ");
            l = 0; r = n - 1;
            while(l < r){
                int mid  = (l + r + 1 ) / 2;
                if(arr[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            System.out.println(l);
        }
    }
}

 

二.数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式：

共一行，包含一个浮点数 n

输出格式：

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
 
注意，结果保留 6 位小数。

数据范围：

−10000 ≤ n ≤ 10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

浮点数二分模板：

double l=a,r=b;
while(r-l>c){
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid)) l=mid;
    else r=mid;
}

其中的a，b都是根据题目范围来确定的，c的取值我们按照题目保留的小数点来取，但是为了保险起见，都是会再加俩位小数，例如要求保留4位小数，c取1e-6，要求保留6位小数，那c取1e-8。

原理也很简单：例如我们中间值mid的三次方如果大于x，也就说明了mid是大于三次根号下x的，这时候按照二分就能把x给推出来

那我们直接按照模板代数据就可以

附上总的代码

public static void main(String[] args){
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);
    double x = scanner.nextDouble();

    double l = -10000,  r = 10000;
    while(r - l > 1e-8){
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    System.out.printf("%.6f",l);        
}