HDU 1299 Diophantus of Alexandria

x 、y、n都是正整数，并且 显然，x >= n ， y >= n ，现在假设 y = n +k (k为正整数) ，那么带入公式，可以得出 x = (n*(n+k))/k = n*n/k + n; 由于x 是正整数，现在的关键问题就是要求出 n*n/ k 有多少组正整数的可能，显然，所要求的就是 n*n 因子的个数// 问题已经非常接近答案了，但是最后还有一个问题，n<= 10^9 ， 那么n*n <= 10^18 ,对于一个这么大的数字怎样才能求出它因子的个数呢？

命题1： 一个正整数 n 可以用素因子唯一表示为 p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk (其中 pi 为素数) , 那么这个数的因子的个数就是，(r1+1)*(r2+1)*...*(rk+1).

如果一个数字 n = p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk ，那么 n*n = p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk * p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk ，它的因子的个数就是 (2*r1+1)*(2*r2+1)*...*(2*rk+1).

由1/x+1/y=1/n
　　简化成(x-n)(y-n)=n*n，
　　
　　很明显，只要能将n*n进行因数分解，
　　则其解都满足题意。
　　
　　假设n可写成：
　　a1^k1 * a2^k2 * a3^k3 * ... * am^km, (1)
　　其中a1,a2,a3,...am互质，
　　则n*n的约数为
　　(2k1+1)(2k2+1)(2k3+1)...(2km+1), (2)
　　记其积为O，
　　从而其存在的解的个数为
　　[O+1]/2，

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

int  prime(  int num[] )//素数筛选

{

     int hash[20000]={0};

     for( int i=3; i<=200; i+=2 )

     {

         if( hash[i/2] )

           continue;

           int x=i<<1;

         for( int j=i*i; j<40000; j+=x )

            hash[j/2]=1;     

     }   

     int count=0;

     num[++count]=2;

     for( int i=1; i<20000; i++ )

     {

           if( hash[i]==0 ) 

           num[++count]=(i<<1)+1;    

     }

     return count;

}

int res( int num[], int count ,int  number )

{

    int sum=1;

    for( int i=1; i<=count; i++ )

    {

         if( number==1 ) break;

        int x=0;

        while( number%num[i]==0 )

        {

           x++;

           number/=num[i];       

        }     

        sum*=(2*x+1);

    }

    if( number!=1 )

       sum*=3;

    return sum;    

}

int main()

{

    int n,num[5000],number;

    int count=prime( num );

    scanf( "%d",&n );

    for( int i=1; i<=n; i++ )

    {

        scanf( "%d",&number );

        printf( "Scenario #%d:\n" ,i);

        printf( "%d\n",(res( num,count,number )+1)/2  );

        puts("");     

    }

    return 0;    

}