高中奥数 2022-03-08

2022-03-08-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P032 例4）

实数集满足以下条件:

(1);

(2)对,.

求证:.

证明

记,

则.
补充定义,

则
$\begin{aligned} s_{n}&=nc+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{i-k}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)\\ &=nc+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_{i-k}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)\\ &=nc+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{i}a_{i-k}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)\\ &=nc+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)\sum\limits_{k=0}^{i}a_{i-k}\\ &=nc+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)\cdot s_{n}\\ &=nc+s_{1}s_{0}+\left(s_{2}-s_{0}\right)s_{1}+\left(s_{3}-s_{1}\right)s_{2}+\cdots+\left(s_{n-1}-s_{n-3}\right)s_{n-2}+\left(s_{n}-s_{n-2}\right)s_{n-1}\\ &=nc+s_{n}s_{n-1}\\ &=nc+s_{n}^{2}, \end{aligned}$
故.

由即知.

2022-03-08-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P033 例5）

设,.求证:对,有

分析若直接通过的表达式来证将非常复杂,但通过建立其递推公式,可以使问题很容易得到解决,我们便可从此处入手.

证明

$\begin{aligned} a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2} &=\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)^{2}-\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right)^{2} \\ &=\dfrac{1}{n^{2}}+2 \cdot \dfrac{1}{n}\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right) \\ &=\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{2}{n}\left(a_{n}-\dfrac{1}{n}\right) \\ &=2 \cdot \dfrac{a_{n}}{n}-\dfrac{1}{n^{2}}. \end{aligned}$
故.

所以
$\begin{aligned} a_{n}^{2}&=2\left(\dfrac{a_{2}}{2}+\dfrac{a_{3}}{3}+\cdots +\dfrac{a_{n}}{n}\right)+\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}- \cdots -\dfrac{1}{n^{2}}\right)\\ &>2\left(\dfrac{a_{2}}{2}+\dfrac{a_{3}}{3}+\cdots +\dfrac{a_{n}}{n}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1\times 2}-\dfrac{1}{2\times 3}-\cdots -\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\right)\\ &=2\left(\dfrac{a_{2}}{2}+\dfrac{a_{3}}{3}+\cdots +\dfrac{a_{n}}{n}\right)+\dfrac{1}{n}\\ &>2\left(\dfrac{a_{2}}{2}+\dfrac{a_{3}}{3}+\cdots +\dfrac{a_{n}}{n}\right). \end{aligned}$
故原不等式成立.

说明本题也可以用数学归纳法证明加强的命题:

2022-03-08-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P034 例6）

设数列满足:,.其中,.求证:

等号成立当且仅当.

证明

当时,式两边等号成立.

当时,由,,易知,于是

故.

所以.

因此,

即.

故,

于是.

另一方面,由,有

即,

故,

则,

于是,

即,

也即,

所以.

综合两方面情况,命题得证.

2022-03-08-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P035 例7）

(钟开莱不等式)设,且,则

(1);

(2).

证明

(1)由Abel变换公式,
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2} &=a_{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{i=1}^{k} a_{i}\right)\left(a_{k}-a_{k+1}\right) \\ & \leqslant a_{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{i=1}^{k} b_{i}\right)\left(a_{k}-a_{k+1}\right) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} . \end{aligned}$
再由Cauchy不等式,有

即得.
(2)
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{3} &=a_{n}^{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{i=1}^{k} a_{i}\right)\left(a_{k}^{2}-a_{k+1}^{2}\right) \\ & \leqslant a_{n}^{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{i=1}^{k} b_{i}\right)\left(a_{k}^{2}-a_{k+1}^{2}\right) \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2} b_{i} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i}^{\frac{3}{2}} \cdot a_{i}^{\frac{1}{2}} b_{i}\right) \\ & \leqslant\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{3}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}. \end{aligned}$
即.

2022-03-08-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P036 例8）

设是正实数列,且对所有满足.求证:对于正整数,有

分析由条件,当时,有;,于是得到关于和的估计,而差是易是易求的,提示我们用Abel变换公式.

证明

利用Abel变换法.

约定,则
.

即.

故
$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}}{i}&=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{s_{i}-s_{i-1}}{i}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-1}s_{i}\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)+\dfrac{1}{n}\cdot s_{n}\\ &\geqslant \dfrac{1}{2}s_{1}+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{ia_{i+1}}{2}\left(\dfrac{1}{i}-\dfrac{1}{i+1}\right)+\dfrac{1}{n}s_{n}\\ &=\dfrac{1}{2}s_{1}+\dfrac{1}{2}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{ia_{i+1}}{i+1}+\dfrac{1}{n}s_{n}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{a_{i}}{i}+\dfrac{1}{n}s_{n}. \end{aligned}$

因此
$\begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}}{i} \\ \geqslant &\dfrac{2}{n} s_{n} \\ =& \dfrac{2}{n}\left(s_{n-1}+a_{n}\right) \\ \geqslant & \dfrac{2}{n} \cdot\left(\dfrac{n-1}{2} a_{n}+a_{n}\right) \\ =& \dfrac{n+1}{n} a_{n}\\ >&a_{n} . \end{aligned}$
故原不等式成立.

说明如果去掉,是正的这一条件,则可用数学归纳法证明本题(参见习题7第5题).

高中奥数 2022-03-08

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