题记
“所以，这就是数学：她赋予自己的发现以生命；她令思维活跃，精神升华；她烛照我们的内心，消除了我们与生俱有的蒙昧与无知。”
——（5世纪希腊评注家）普罗克洛斯
上图是《孙子算经》序言
上一篇文章是《从2520的秘密说起》，这次我们接着话题继续谈谈最大公约数和最小公倍数。
话说写完上一篇文章后，女儿放学回家了。我考了她从2到11各数的倍数有何特征，意料之外的是女儿对答如流，完整正确。再考她2到10的最小公倍数问题，她说简单，很快在纸上演算，用短除法得出答案:2520。厉害了，看来是勤于思考的结果，付出必有收获，念念不忘，必有回响。士别三日，当刮目相看。
上图是短除法计算2至10的最小公倍数
先看一下这个题目：某个3位数的数字，用2除，余1,用3除，还余1,用4除，也余1；用5除，也余1；用6除，还余1；用7除，还是余1。
这个数是多少呢？这个数肯定是500以上的数字。
［答案］用从2到7的哪个数除，都可以除得尽的数是：
2×3×4×5×6×7=5040，
这个数是2到7的公倍数，但不是最小公倍数。上面的算式有2个合数：4和6，还能再分解质因数，所以要求的最小公倍数是：
2×2×3×5×7=420。
因此，给421加上1得出421,则用2到7之间的任何数去除，都是余1。
审题，还有一个条件是500以上的3位数，所以，正确答案是：
420×2+1=841
华杉说：‘’君子无所不用其极，做任何事，都有很简单的办法，为什么不行呢，因为你做不彻底。我们讲“凡事彻底”，成功不是做不平凡的事，而是把平凡的事做彻底。
凡事彻底就是要把平凡的小事做彻底，做到极致。做到凡事彻底就是天下的王道。”
那么，我们就对这个问题来个彻底解剖。
2的最小倍数是2，
2、3的最小公倍数是6，
2、3、4的最小公倍数是12（2×2×3），
2、3、4、5的最小公倍数是60（2×2×3×5），
2、3、4、5、6的最小公倍数是60（2×2×3×5），
2、3、4、5、6、7的最小公倍数是60×7=420（2×2×3×5×7），
2、3、4、5、6、7、8的最小公倍数是420×2=840（2×2×2×3×5×7），
2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是840×3=2520（2×2×2×3×3×5×7），
考察2520，发现它包含的质因数里有2和5，所以肯定是10的倍数。
求最小公倍数和最大公约数有三种方法：分解质因数法、短除法和辗转相除法。
下面谈谈用短除法求最小公倍数和最大公约数。短除法求最大约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
请看图，L形线段的左侧是除数，下面的是商，左侧的除数也是因数。把下面的商和左侧的因数连乘，就求出了最小公倍数。
上图是短除法示意图
补充一个技巧：求n个数的最小公倍数，我们只需要把最大的那个数扩大若干整数倍（从1开始）如果这个数能够同时整除其他的数，那么这个数就是这n个数的最小公倍数。
例如：求4,6,8的最小公倍数
将8扩大若干整数倍（从1开始）
8×1=8， 8能整除4，但是不能整除6，所以8不是
8×2=16 16能整除4，但是不能整除6，所以16不是
8×3=24 24能整除4，也能整除6，所以他们的最小公倍数就是24
为什么说要从1开始乘呢？比如，求2,4,8的最小公倍数：
8×1=8， 8能整除4，也能整除2，所以8就是2,4,8的最小公倍数，此时你如果从2开始乘，就会把他们的最小公倍数算大了。
求60、28、35的最小公倍数，如果你在考场上用短除法去求，我想很多人不但会很慢，而且还容易出错，那么可以换个思路，将最大的数60扩大若干整数倍。很明显，28、35都能被7整除，那么我们直接给60×7=420，420恰好能整除28、35，所以420就是他们的最小公倍数，怎么样？是不是很快？
再说说辗转相除法。
在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。欧几里得的《几何原本》大约是在公元前300年，所以辗转相除法是现有算法中历史最悠久的。
辗转相除法计算的是两个自然数a和b的最大公约数g，意思是能够同时整除a和b的自然数中最大的一个。两个数的最大公约数通常写成GCD(a, b)。例如，计算a=1071和b=462的最大公约数的过程如下：从1071中不断减去462直到小于462（可以减2次，即商q0 = 2），余数是147：
1071 = 2 × 462 + 147
然后从462中不断减去147直到小于147（可以减3次，即q1 = 3），余数是21：
462 = 3 × 147 + 21
再从147中不断减去21直到小于21（可以减7次，即q2 = 7），没有余数：
147 = 7 × 21 + 0
此时，余数是0，所以1071和462的最大公约数是21，这和用质因数分解得出的结果相同。
上图是辗转相除法的演示动画
辗转相除法的演示动画：两条线段分别表示252和105，其中每一段表示21。如动画所示，只要辗转地从大数中减去小数，直到其中一段的长度为0，此时剩下的一条线段的长度就是252和105的最大公约数。
上图解释了公约数的意义
有数无形不直观，有形无数不精确。数形结合更完美。如上图所示，一个24×60的长方形正好被十个12×12的方格填满，其中12是24和60的最大公约数。一般地，当且仅当c是a和b的公约数时，a×b尺寸的长方形可被边长c的正方形正好填满。
保罗·裘唐诺所著的小说《质数的孤独》（The Solitude of Prime Numbers）里，质数被用来比喻寂寞与孤独，被描述成整数之间的“局外人”。那么，孤独的质数，以及最大公约数和最小公倍数，它们有什么用呢？
请看古典名题：河妇荡杯。（选自《孙子算经》17卷下）
今有妇人河上荡杯，津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”
译文：有一个妇女在河边洗碗。管理渡口的官吏问她：“怎么有这么多碗？”妇女回答说：“我家里来客人了。” 官吏问：“有几个客人？”妇女回答：“每两人共吃一碗饭，三人共喝一碗汤，四人共吃一碗肉，总共用了六十五只碗。我也不清楚到底有多少客人。”
此题《孙子算经》中的解法是这样记载的：“置六十五只杯,以一十二乘之,得七百八十,以一十三除之,即得。”解题思路：每个客人使用的碗数为1/2+1/3+1/4=13/12 总用碗数除以13/12即得人数：
65÷（1/2+1/3+1/4）=65÷13/12=60（人）
12是2、3、4的最小公倍数，每12位客人要用13只碗。假设12位客人坐一桌，那么共有5桌客人，5×12=60（人），每桌用13只碗，5×13=65（只）碗，验算无误。
类似的，有道小学奥数题：某学校五年级一班周末会餐，每人一个饭碗，每两人一个菜碗，每三人一个汤碗，每四人一个肉碗，合计用了100个碗，问五年级一班有多少同学会餐？
同样的解题思路：12是2、3、4的最小公倍数，每12位客人要用多少碗呢？12+6+4+3=25，假设12位同学坐一桌，那么共有4桌，每桌用25只碗，4×25=100,4桌同学人数是4×12=48（人）。
答：五年级一班有48人会餐。这道奥数题隐含了对“河妇荡杯”的两人共用一个饭碗的吐槽。
再来看这道题：三女归宁。（选自《孙子算经》35卷下）
今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问三女几何日相会？
题意是一家有三个女儿平时分别回娘家，大女儿5天回一次，二女儿4天回一次，小女儿3天回一次。问这三个女儿何时在娘家相会？
解答：这是一个求最小公倍数问题。5、4、3的最小公倍数是60，故答案是三女每60天相会一次。
看完这些题目，大家是否觉得整数分解很简单，难度太低了。告诉你一个好消息和一个坏消息：好消息是你在生活和工作中遇到的题目都不是很难，坏消息是难的题目你一千年也做不出来。问问密码学家，他会告诉你大整数分解非常困难。
RSA加密演算法是一种非对称加密演算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
2002年，RSA-158被成功因数分解。
RSA-158表示如下：
39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609
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= 3388495837466721394368393204672181522815830368604993048084925840555281177×
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2009年12月12日，编号为RSA-768（768 bits, 232 digits）数也被成功分解。这一事件威胁了现通行的1024-bit密钥的安全性，普遍认为用户应尽快升级到2048-bit或以上。
RSA-768表示如下：
123018668453011775513049495838496272077285356959533479219732245215172640050726
365751874520219978646938995647494277406384592519255732630345373154826850791702
6122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413
= 3347807169895689878604416984821269081770479498371376856891
2431388982883793878002287614711652531743087737814467999489×
3674604366679959042824463379962795263227915816434308764267
6032283815739666511279233373417143396810270092798736308917
大家都知道林肯的葛底斯堡演讲，仅10句话3分钟272单词，却是英语演讲的最高典范！今天讲一个故事，一块黑板和一言不发的学术报告的故事。（天地有大美而不言，天何言哉，天何言哉！）
2^67-1=193707721*761838257287 你可以用电脑计算器验算一下. 1903年,在纽约的一次数学报告会上,数学家科勒上了讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是2的67次方－1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同,这时,全场爆发出经久不息的掌声.这是为什么呢? 因为科勒解决了两百年来一直没弄清的问题,即2是67次方－1是不是质数?现在既然它等于两个数的乘积,可以分解成两个因数,因此证明了2是67次方－1不是质数,而是合数。科勒只做了一个简短的无声的报告,可这是他花了3年中全部星期天的时间,才得出的结论.在这简单算式中所蕴含的勇气,毅力和努力，却别具魅力。正如高斯所说：给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。这就是科勒教授征服第9个梅森数的原动力。
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摘自《不知道的世界，数学卷》小学2000年左右看过的一本科普书，此书后来经过数版修订，图是刚才看到Kindle上有卖最新修订版，遂截图。以上图片来自知乎网友。
科勒的论文下载地址 科勒教授论文下载地址
https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183417760
上面的链接是英文，英语差和数学差的学渣千万不要手贱去点，点进去你也看不懂。
花絮和彩蛋
擦黑板表白公式
music video动图
来自K.will（金亨秀）—《I need you》的MV，大约1分55秒左右出现。视频地址
http://v.youku.com/v_show/id_XMzUyMjk3MjE2.html?x&sharefrom=android
一无所有.mp3 5:32.298
来自百科漫谈
崔健《一无所有》歌词：
我曾经问个不休
你何时跟我走
可你却总是笑我
一无所有
我要给你我的追求
还有我的自由
可你却总是笑我
一无所有
噢……你何时跟我走
噢……你何时跟我走
脚下的地在走
身边的水在流
可你却总是笑我
一无所有
为何你总笑个没够
为何我总要追求
难道在你面前
我永远是一无所有
噢……你何时跟我走
噢……你何时跟我走
脚下的地在走
身边的水在流
告诉你我等了很久
告诉你我最后的要求
我要抓起你的双手
你这就跟我走
这时你的手在颤抖
这时你的泪在流
莫非你是在告诉我
你爱我一无所有
噢……你这就跟我走
噢……你这就跟我走
噢……你这就跟我走
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