原码补码反码的范围

原码、反码、补码的表示范围是如何得到的

原码
    纯整数的原码
    纯小数的原码
反码
    纯整数的反码
    纯小数的反码
补码
    纯整数的补码
    纯小数的补码

原码

首先说原码，原码是有符号数中最简单的编码方式。原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：0表示为正数，1表示为负数，其余为数值位，表示数值大小。

纯整数的原码

原码的范围是 – (2n–1) ≤ x ≤ 2n–1（n是整数位数）
这是如何得到的呢？
以机器字长为8为例，符号位占1位，那么剩下有7位的数值位，如果不考虑整数的符号，那么这7位数最大的时候为全1，即111 1111，转换为十进制为27–1。
当符号位为0，即0111 1111，此时该数最大，为27–1；
当符号位为1，即1111 1111，此时该数最小，为 – (27–1) 。
即当数值位有n位时（机器字长为n+1位），
纯整数的原码的范围是 – (2n–1) ≤ x ≤ 2n–1。
纯小数的原码

原码的范围是 – (1–2–n) ≤ x ≤ 1–2–n（n是数值位数）
同样以机器字长为8为例，即有7位的数值位，如果不考虑小数的符合，那么这7位数最大的时候为全1，即0.1111 111，那这该怎么计算？难道要用2-1+2-2+……+2-n吗？如下图所示：在这里插入图片描述即当符号位为0，即0.1111111，此时该数最大，表示为1–2–7；
当符号位为1时，即1.1111111，此时该数为负数，且为最小负数，表示为 – (1–2–7)。
即当数值位有n位时（机器字长为n+1位），
纯小数原码的范围是 – (1–2–n) ≤ x ≤ 1–2–n（n是数值位数）。
反码

反码通常用来作为由原码求补码或由补码求原码的中间过渡。
正数的反码与原码是相同的，而负数的反码是将数值位按位取反，就可以得到。
纯整数的反码

以8为机器字长为例，由于正数的反码与补码相同，因此对于最大正数的由来这里不多赘述，同上。那么最小负数如何得来？
其实与原码也是同一个道理，但是由于负数的反码要按位取反，数值位的全0会变成全1，同样，如果真值的数值位为全1，那么反码表示则会为全0，加上符号位的1，
即最小负数用原码可表示为1,1111111，反码则表示为1,0000000，即反码可表示的最小负数–(27–1)。
故当机器字长为n+1时，
纯整数的反码表示范围是 – (2n–1) ≤ x ≤ 2n–1，与原码是相同的。
纯小数的反码

纯小数的反码与上述纯整数的反码是类似的，这里不多赘述，它的表示范围与纯小数的原码是相同的，最关键的就是记住按位取反。
故纯小数反码的范围是 – (1–2–n) ≤ x ≤ 1–2–n（机器字长为n+1）。
补码

由于正数的原码、反码和补码都是相同的，故在这里我们就只讨论负数，而最大值（即最大正数）都是同原码相同的。
补码是在反码的基础上（按位取反），末尾再加1。
纯整数的补码

要正确理解补数，必须要知道补码就是同余。机器字长为8位时，只能表示256个数，但我还想表示一些负数怎么办？就用该负数同余的正数来表示。例如-1=255，-2=254。它的模就是28=256，而负数的补码为模与该负数绝对值的差值，则 – 128 = 256 – 128 = 128，所以–128的补码是10000000。无符号正数从0到255，补码表示的有符号正数从-128到127，其实刚好都是一个相互对应的。
由此可知，当数值位为n时（机器字长为n+1），
纯整数的补码的范围是 – 2n ≤ x ≤ 2n–1
纯小数的补码

对于小数，补码的最小负数是最让人难以理解的，为什么补码的1.000 0000对应的真值是-1呢？
如果我们采用对补码取反加一的方法，可以发现结果根本就不是这个值，而结合前面纯小数原码的取值范围，我们发现，在纯小数中，原码和反码都不能表示-1， 他们都只能表示纯整数的-1。从纯小数补码的定义可知，-1.0的补码为2–1.0=1.000 0000。有没有发现这跟上述的纯整数的补码非常相似，只不过纯整数的补码模取的是2n+1，而纯小数补码中，模取的是2，这样我们对于负数的补码就可以清晰的理解了。

因此，纯小数补码的范围是 – 1 ≤ x ≤ 1–2–n（机器字长为n+1）。

综上可发现，原码和反码的表示范围是相同的，记住一个，另一个也就记住了，而补码的表示范围中，最大正数是与原码反码相同，但是负数就有区别了。对纯小数来说，补码可表示的最小负数是 – 1；对于纯整数来说，补码可表示的最小负数是 – 2n。