【蓝桥杯每日一题】前缀和算法

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

---

、前缀和

、前缀和的简单概念

前缀和算法分为一维和二维，一维前缀和可以很快速的求序列中某一段的和。而二维前缀和可以快速求一个矩阵中某个子矩阵的和。

一维前缀和的图解：

前缀和数组的计算方法：前缀和数组s[i]是由原数组a[i]递推而来的
即：s[i] = s[i - 1] + a[i]

、例题分析

、（AcWing）前缀和

分析题意：每次询问查询的是原数组l - r区间内的和， 因此我们可以设置一个原数组a和一个前缀和数组

代码示例：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];//原数组
int s[N];//前缀合数组
int n, m;

int main ()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            s[i] = s[i - 1] + a[i];
        }
    while(m --)
    {
       int l , r;
       cin >> l >> r;
       printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    return 0;
}

解法2：因为本题不需要用到原数组a,则可以直接创建一个前缀和数组s,并且原数组a上 L - R 区间内的值就是前缀和数组 s[R] - s[L - 1];
代码示例：

#include
#include
#include
using namespace std;
int m, n;
int s[100010];
int main ()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    while(m --)
    {
        int ans = 0;
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        ans = s[r] - s[l - 1];
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

、（AcWing）子矩阵的和 二维前缀和

图解二维前缀和的公式


代码示例：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], s[N][N];
int n, m, q;
int main ()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i =  1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];//计算二维前缀和
        }
    while(q --)
    {
        int x1, x2, y1, y2;//计算每一次结果
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int ans = s[x2][y2] - s[x1 -1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 -1];
        cout << ans << endl;
    }
    
    return 0;
}

、（AcWing）截断数组

算法：前缀和 + 枚举

**分析题意：枚举第二刀i处。

代码示例：

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010;
int n;
int s[N];
int main ()
{
    cin >> n;
    for(int i =1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        s[i] = s[i - 1]  + x; //处理前缀和数组s[i]
    }
    if(s[n] % 3) //提前判断结束条件
    {
        cout << "0" << endl;
        return 0;
    }
    LL res = 0;//因为答案可能爆int
    
    for(int i = 3, cnt = 0; i <= n; i++)
    {
        if(s[i - 2] == s[n] / 3) cnt++;
        if(s[n] - s[i - 1] == s[n] / 3) res += cnt; //s[n] - s[i - 1]是计算i - n区间的总和
    }
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

---

、总结

    本文简要介绍了前缀和的简要概念和几道前缀和的经典例题，希望大家读后能有所收获！