AcWing《蓝桥杯集训·每日一题》—— 3956.截断数组

AcWing《蓝桥杯集训·每日一题》—— 3956. 截断数组

本次博客我是通过Notion软件写的，转md文件可能不太美观，大家可以去我的博客中查看：北天的 BLOG，持续更新中，另外这是我创建的编程学习小组频道，想一起学习的朋友可以一起！！！

一、题目

✍ 给定一个长度为n的数组a1, a2,.. . , an 。

现在，要将该数组从中间截断，得到三个非空子数组。

要求，三个子数组内各元素之和都相等。

请问，共有多少种不同的截断方法?

输入格式

第一行包含整数n。

第二行包含n个整数a1, a2,… . , an。

输出格式

输出一个整数，表示截断方法数量。

数据范围

前六个测试点满足1≤n≤10。

所有测试点满足1≤

输入样例1：

4
1 2 3 3

输出样例1：

1

输入样例2：

5
1 2 3 4 5

输出样例2：

0

输入样例3：

2
0 0

输出样例3：

0

二、解题思路

当我们看见这个题目时，我们可以从以下几个方面去思考解决这个问题：

1. 首先，需要确定数组的长度是否符合题目中的要求，也就是说，长度是否大于等于3。
2. 如果数组的长度符合要求，我们可以计算出数组的总和，并判断总和是否能够被3整除。
3. 如果数组的总和可以被3整除，我们可以计算出每个子数组的目标和。
4. 接下来，我们可以使用前缀和数组来预处理数组的前缀和。
5. 然后，我们可以遍历前缀和数组，如果当前前缀和等于目标和的两倍，则该点是可能的分割点。
6. 最后，我们可以从第一个可能的分割点开始，计算其他可能的分割点的数量，并将其加入答案。

通过使用前缀和，我们可以在O(n)的时间复杂度内解决此问题。

什么是前缀和？

前缀和是一种数学技巧，用于快速求出一个数组的前缀和。前缀和数组定义为：对于数组a中的每个元素a[i]，前缀和数组prefix[i]表示a[0]到a[i]的和。

例如，对于数组a=[1, 2, 3, 4, 5]，前缀和数组prefix为[1, 3, 6, 10, 15]。

使用前缀和数组可以在O(1)的时间复杂度内查询数组中某一段元素的和，而不需要重新遍历数组。这在很多题目中，如区间求和，有很多应用。

三、代码实现

‍ 具体实现代码如下：

def cut(n, nums):
    # 判断数组元素个数是否小于3，若是则不存在可行解，直接返回0
    if n < 3:
        return 0

    # 求数组元素和
    s = sum(nums)
    # 判断数组元素和是否为3的倍数，若不是则不存在可行解，直接返回0
    if s % 3 != 0:
        return 0

    # 将数组元素和除以3，得到每段的平均值
    avg = s // 3

    # 初始化cnt数组，用于存储每个前缀的符合要求的数量
    cnt = [0] * (n + 1)

    # 初始化presum数组，用于存储每个前缀的元素和
    presum = [0] * (n + 1)

    # 枚举每个前缀，计算元素和
    for i in range(1, n + 1):
        presum[i] = presum[i - 1] + nums[i - 1]

    # 枚举每个前缀，判断元素和是否为2倍的平均值
    for i in range(1, n):
        if presum[i] == avg * 2:
            cnt[i] = 1

    # 枚举每个前缀，累加符合要求的数量
    for i in range(1, n):
        cnt[i] += cnt[i - 1]

    # 初始化结果为0
    res = 0

    # 枚举每个前缀，判断元素和是否为平均值
    for i in range(n - 2):
        if presum[i + 1] == avg:
            res += cnt[n - 1] - cnt[i + 1]

    # 返回结果
    return res

n = int(input().strip())
nums = list(map(int, input().strip().split()))
print(cut(n, nums))