2022-02-20-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题25）
设为奇素数,是一个正整数数列,满足:对任意都有.证明:可以从中取出若干个数,使得它们的乘积.
证明
我们证明:当时,存在一个集合,其中或者某些中的数之积,满足:对,都有
当时,由条件知,取即可.现设对成立,由条件,故对两两不同余,并由的构成(每个数都不是的倍数)及,可知
所以,在意义下,不是的一个排列,从而存在,使得中任意两个数不同余依此可知,结论成立.
现在考察即可得出题中要求的结论(因为它们构成的简系).
2022-02-20-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题26）
设是一个一一对应.
(1)证明:存在正整数、,使得;
(2)对不小于5的正整数,是否也一定存在正整数、,使得
证明
(1)任取,由于只有有限个的值,故存在,使对,都有.考虑数列
如果存在,使得,那么取,可知(1)成立.所以,对,都有(这里不取等号是因为f是单射),即,但由于是满射知小于的的值只有有限个,矛盾.
(2)不一定存在.例如:令如下
上述定义中,对,有,, ,,而,.
下证:在时,对、,都有或者.
事实上,若否,则.由的定义,知,,分别落在3个不同的递减区间内,而从到这个递减区间的长度为,所以所在递减区间的长度,又与都不落在所在的递减区间,故,导致,矛盾.从而(2)的结论是不定.
2022-02-20-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 习题二 P097 习题27）
证明:对任意实数,存在唯一的正整数数列,使得
证明
引理若整数 满足,,,则对任意,有.
引理的证明:由条件,可知
所以,引理成立.
由此引理可证得唯一性(事实上,若,而,则,前者由引理知,后者,这可得出).
存在性可由下面的方式得到,记,则存在唯一的,使得,写,则,对此,存在唯一的,使,依次递推,可定义数列.下证:.
事实上,,故.
最后,由的定义可知.令,即可得.