桶排序是将待排序集合中处于同一个值域的元素存入同一个桶中，也就是根据元素值特性将集合拆分为多个区域，则拆分后形成的多个桶，从值域上看是处于有序状态的。对每个桶中元素进行排序，则所有桶中元素构成的集合是已排序的。
快速排序是将集合拆分为两个值域，这里称为两个桶，再分别对两个桶进行排序，最终完成排序。桶排序则是将集合拆分为多个桶，对每个桶进行排序，则完成排序过程。两者不同之处在于，快排是在集合本身上进行排序，属于原地排序方式，且对每个桶的排序方式也是快排。桶排序则是提供了额外的操作空间，在额外空间上对桶进行排序，避免了构成桶过程的元素比较和交换操作，同时可以自主选择恰当的排序算法对桶进行排序。
当然桶排序更是对计数排序的改进，计数排序申请的额外空间跨度从最小元素值到最大元素值，若待排序集合中元素不是依次递增的，则必然有空间浪费情况。桶排序则是弱化了这种浪费情况，将最小值到最大值之间的每一个位置申请空间，更新为最小值到最大值之间每一个固定区域申请空间，尽量减少了元素值大小不连续情况下的空间浪费情况。
桶排序过程中存在两个关键环节：
- 元素值域的划分，也就是元素到桶的映射规则。映射规则需要根据待排序集合的元素分布特性进行选择，若规则设计的过于模糊、宽泛，则可能导致待排序集合中所有元素全部映射到一个桶上，则桶排序向比较性质排序算法演变。若映射规则设计的过于具体、严苛，则可能导致待排序集合中每一个元素值映射到一个桶上，则桶排序向计数排序方式演化。
- 排序算法的选择，从待排序集合中元素映射到各个桶上的过程，并不存在元素的比较和交换操作，在对各个桶中元素进行排序时，可以自主选择合适的排序算法，桶排序算法的复杂度和稳定性，都根据选择的排序算法不同而不同。
算法过程
- 根据待排序集合中最大元素和最小元素的差值范围和映射规则，确定申请的桶个数；
- 遍历待排序集合，将每一个元素移动到对应的桶中；
- 对每一个桶中元素进行排序，并移动到已排序集合中。
步骤 3 中提到的已排序集合，和步骤 1、2 中的待排序集合是同一个集合。与计数排序不同，桶排序的步骤 2 完成之后，所有元素都处于桶中，并且对桶中元素排序后，移动元素过程中不再依赖原始集合，所以可以将桶中元素移动回原始集合即可。
演示示例
待排序集合为：[-7, 51, 3, 121, -3, 32, 21, 43, 4, 25, 56, 77, 16, 22, 87, 56, -10, 68, 99, 70]
映射规则为：，其中常量位：，即以间隔大小 10 来区分不同值域
排序算法为：堆排序，根据堆排序特性可知， 个元素的集合，时间复杂度为：，算法不保持稳定性
step 1:
遍历集合可得，最大值为：，最小值为：，待申请桶的个数为：
step 2:
遍历待排序集合，依次添加各元素到对应的桶中。
| 桶下标 | 桶中元素 |
|---|---|
| 0 | -7, -3, -10 |
| 1 | 3, 4 |
| 2 | 16 |
| 3 | 21, 25, 22 |
| 4 | 32 |
| 5 | 43 |
| 6 | 51, 56, 56 |
| 7 | 68 |
| 8 | 77, 70 |
| 9 | 87 |
| 10 | 99 |
| 11 | |
| 12 | |
| 13 | 121 |
step 3:
对每一个桶中元素进行排序，并移动回原始集合中，即完成排序过程。
算法示例
def bucketSort(arr):
maximum, minimum = max(arr), min(arr)
bucketArr = [[] for i in range(maximum // 10 - minimum // 10 + 1)] # set the map rule and apply for space
for i in arr: # map every element in array to the corresponding bucket
index = i // 10 - minimum // 10
bucketArr[index].append(i)
arr.clear()
for i in bucketArr:
heapSort(i) # sort the elements in every bucket
arr.extend(i) # move the sorted elements in bucket to array
第一个循环作用为将待排序集合中元素移动到对应的桶中，复杂度为 ；第二个循环的作用为对每个桶中元素进行排序，并移动回初始集合中，若桶个数为 ，平均每个桶中元素个数为 ，则复杂度为 。当 时，即桶排序向计数排序方式演化，则堆排序不发挥作用，复杂度为 ，只需要将元素移动回初始集合即可。当 时，即桶排序向比较性质排序算法演化，对集合进行堆排序，并将元素移动回初始集合，复杂度为 。
算法分析
由算法过程可知，桶排序的时间复杂度为 ，其中 表示桶的个数。由于需要申请额外的空间来保存元素，并申请额外的数组来存储每个桶，所以空间复杂度为 。算法的稳定性取决于对桶中元素排序时选择的排序算法。由桶排序的过程可知，当待排序集合中存在元素值相差较大时，对映射规则的选择是一个挑战，可能导致元素集中分布在某一个桶中或者绝大多数桶是空桶的现象，对算法的时间复杂度或空间复杂度有较大影响，所以同计数排序一样，桶排序适用于元素值分布较为集中的序列。
github链接：桶排序