高中奥数 2022-03-04

2022-03-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P026 习题09）

求证:对任意,存在正整数和复数列,使 $c\cdot\dfrac{1}{2^{n}}\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left|\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right|<\left(\sum\limits_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right|^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}.$ 其中.

证明

考虑
$\begin{aligned} S&=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left|\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right|^{2}\\ &=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left(\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right)\left(\varepsilon_{1}\bar{a_{1}}+\varepsilon_{2}\bar{a_{2}}+\cdots+\varepsilon_{n}\bar{a_{n}}\right)\\ &=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left(\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|a_{n}\right|^{2}+\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\right). \end{aligned}$
不妨取,,则
$\begin{aligned} S&=n\cdot 2^{n}+\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\\ &=n\cdot 2^{n}+\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\\ &=n\cdot 2^{n}. \end{aligned}$
现要求,只需,即,故取即可.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题10）

设、是正常数,,求的最大值.

解

设,,则条件转化为,、,利用Cauchy不等式,
$\begin{aligned} y&=\sqrt{u}+\sqrt{v}\\ &\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{u}{a^{2}}-\dfrac{7}{b^{5}}\right)\left(a^{4}+b^{4}\right)}\\ &\leqslant \sqrt{\sqrt{\left(\dfrac{u^{2}}{a^{4}}+\dfrac{v^{2}}{b^{4}}\right)\left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)}\cdot \left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)}\\ &=\left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{4}}, \end{aligned}$
并且易求得等号成立的条件.

注:在求解过程中,幂次都可以用待定系数法来确定.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题11）

设个实数,它们的绝对值都小于等于2,其立方和为0.求证:它们的和.

证明

记这个实数为.令,则,.要证明:用待定系数法:设.令,由三倍角公式易知可使上式成立,从而原不等式获证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题12）

已知正整数,中的实数满足:.求证:.

证明

由于,则,这里是一个待定实数,展开,得:.

令,从上式得.对从1到求和,即有
$\begin{aligned} 5\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}&\leqslant n-\dfrac{135}{16}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{4}+\dfrac{15}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\\ &=n+\dfrac{15}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-\dfrac{9}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{4}\right)\\ &\leqslant n+\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{2}{9}n\\ &=\dfrac{8}{3}n, \end{aligned}$
故.

高中奥数 2022-03-04

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