高中奥数 2021-07-21

2021-07-21-01

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P13 例1）

证明:无穷数列中没有素数.

证明

记,则

为了将上式右端的数分解为两个(大于的)整数之积,我们区分两种情形:

为偶数.设,则

易知,是大于的整数,而对,也是大于的整数.故都是合数.

又是合数.

为奇数.设,则

是两个大于的整数之积,故也均是合数.因此,所有是合数.

2021-07-21-02

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P13 例2）

证明:对任意整数,数不是素数.

证明

若为偶数,则大于且均被整除,因此都不是素数.

但对奇数,易知没有一个(大于的)固定的约数,我们采用不同的处理:

设奇数,,则

$\begin{aligned} & n^{4}+4^{n} \\=&n^{4}+4\cdot 4^{2k}\\=&n^{4}+4\cdot\left(2^k\right)^{4}\\=&n^{}+4n^{2}\cdot\left(2^{k}\right)^{2}+4\cdot\left(2^{k}\right)^{4}-4n^{2}\cdot\left(2^{k}\right)^{2}\\=&\left(n^{2}+2\cdot2^{2k}\right)^{2}-\left(2\cdot n\cdot 2^{k}\right)^{2}\\=&\left(n^{2}+2^{k+1}n+2^{2k+1}\right)\left(n^{2}-2^{k+1}n+2^{2k+1}\right). \end{aligned}$

上式右边第一个因数显然不为,而后一个因数为也不是(因),故对都是合数.

2021-07-21-03

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P14 例3）

设正整数、、、满足,证明:不是素数.

证法一

由,可设其中和是互素的正整数.由意味着有理数的分子、分母约去了某个正整数后,得到既约分数,因此

同理,有正整数,使得

因此,是两个大于的整数之积,从而不是素数.

证法二
由,得.因此

因是整数,故也是整数.

若它是一个素数,设为,则由.

可见,整除,从而素数整除或.

不妨设则,则,而这不可能(因).

2021-07-21-04

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P15 例4）

证明:若整数、满足,则和都是完全平方数.

证明

已知关系式即为.(*)

证明整数与互素.

记.

若,则有素因子,从而由(*)知.因是素数,故.

由得.再由得,这不可能,故.

因此,由于(*)的右端为,是一个完全平方数,故与均是完全平方数.

现在证明,从而,于是及均是完全平方.

假设有整数满足问题中的等式,但.

因已证明是一个完全平方数,故有,这里;所以,再由得.

设,,代入问题中的等式可得到(注意及)

.(**)

为了证明上式不可能成立,可采用下面的办法:

将(**)看作是关于的二次方程,由求根公式解得

因为整数,故由上式知为完全平方数.但易知一个完全平方数被除得的余数只能为或;而被除得的余数为,产生矛盾.

或者更直接地:由于被除得的余数为或,故()左边被除得的余数是或;但()的右边为,被整除.矛盾.

即(**)对任何整数及均不成立,从而必须有,这就证明了本题的结论.

2021-07-21-05

（来源：数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵素数及唯一分解定理 P15 例5）

设、、是整数,且.证明:若,则.

证明

设是一个素数,且.我们来证明,由此即导出本题的结论.

记,若,则.

因,故.

又,于是.

若,用二项式定理,得.(*)

设,则,由此易知.

因此中所含的的幂次至少是,故(*)右边和中每一项均被整除,故,即.

高中奥数 2021-07-21

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