2021-07-21-01
（来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 素数及唯一分解定理 P13 例1）
证明:无穷数列中没有素数.
证明
记,则
为了将上式右端的数分解为两个(大于的)整数之积,我们区分两种情形:
为偶数.设,则
.
易知,是大于的整数,而对,也是大于的整数.故都是合数.
又是合数.
为奇数.设,则
是两个大于的整数之积,故也均是合数.因此,所有是合数.
2021-07-21-02
（来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 素数及唯一分解定理 P13 例2）
证明:对任意整数,数不是素数.
证明
若为偶数,则大于且均被整除,因此都不是素数.
但对奇数,易知没有一个(大于的)固定的约数,我们采用不同的处理:
设奇数,,则
上式右边第一个因数显然不为,而后一个因数为也不是(因),故对都是合数.
2021-07-21-03
（来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 素数及唯一分解定理 P14 例3）
设正整数、、、满足,证明:不是素数.
证法一
由,可设其中和是互素的正整数.由意味着有理数的分子、分母约去了某个正整数后,得到既约分数,因此
,.
同理,有正整数,使得
,.
因此,是两个大于的整数之积,从而不是素数.
证法二
由,得.因此
.
因是整数,故也是整数.
若它是一个素数,设为,则由.
可见,整除,从而素数整除或.
不妨设则,则,而这不可能(因).
2021-07-21-04
（来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 素数及唯一分解定理 P15 例4）
证明:若整数、满足,则和都是完全平方数.
证明
已知关系式即为.(*)
证明整数与互素.
记.
若,则有素因子,从而由(*)知.因是素数,故.
由得.再由得,这不可能,故.
因此,由于(*)的右端为,是一个完全平方数,故与均是完全平方数.
现在证明,从而,于是及均是完全平方.
假设有整数满足问题中的等式,但.
因已证明是一个完全平方数,故有,这里;所以,再由得.
设,,代入问题中的等式可得到(注意及)
.(**)
为了证明上式不可能成立,可采用下面的办法:
将(**)看作是关于的二次方程,由求根公式解得
.
因为整数,故由上式知为完全平方数.但易知一个完全平方数被除得的余数只能为或;而被除得的余数为,产生矛盾.
或者更直接地:由于被除得的余数为或,故()左边被除得的余数是或;但()的右边为,被整除.矛盾.
即(**)对任何整数及均不成立,从而必须有,这就证明了本题的结论.
2021-07-21-05
（来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 素数及唯一分解定理 P15 例5）
设、、是整数,且.证明:若,则.
证明
设是一个素数,且.我们来证明,由此即导出本题的结论.
记,若,则.
因,故.
又,于是.
若,用二项式定理,得.(*)
设,则,由此易知.
因此中所含的的幂次至少是,故(*)右边和中每一项均被整除,故,即.