【考研数学】二. 一元函数积分学

二. 一元函数积分学

1. 基本概念

微积分：一元函数微积分 和 多元函数微积分

不定积分：求所有的原函数，所以求得的原函数通常要加个常数C

定积分和反常积分：若出现了∞或者闭区间内没有定义的点，且极限为无穷，就是反常积分，反之定积分。

2. 计算方法

不定积分的计算

常规套路：凑微分 ， 换元 ， 分部积分

1. 公式法：善用17个 不定积分常见的等式 +12 三角函数公式变化（文末）

2. 移动法：将dx左侧部分积到右侧（想想什么求导等于左侧）（也可以逆向）

3. 分部积分法：适用于被积函数是两项相乘的形式（反对幂指三）

   • 不定积分udv = uv - 不定积分vdu
   • 优先级：指三幂对反。谁在前面移谁
   • 注意转化： lnx dx = lnx * lne dx = lnx * x的0次方 dx
   • 注意三角函数可能需要连续用两次建立方程。

对于需要多次使用分部积分的形式，可以参考表格分部法：表格分部法

4. 凑分母法：把分子凑成和分母一样

• 适用条件：
  • 被积函数是一个分数
  • 分母是两项相加减的形式
  • 分子是分母的其中一项

5. 换元法

   • 适用条件：只要含根号，就可以用！
     
     只要使用了方法五，开除根号后，必为正。
   • 若 x = sect ,还原后，不可使得t = arcsecx 代入最后结果（使得三角函数里面嵌套一个反三角函数）。需要自己在草稿上画一个三角形，自己去找关系。

6. 万能公式法

   • 适用类型：被积函数中只含数字和三角函数。

   • 可以使用，但是不一定是最简单的方法。

   • 令t = tan x/2
     1. 对分母求导法

   • 适用题型：
     $$\frac{Dx+E}{A{x}^2+Bx+C}$$

   • 对分母求导，然后将分子改写成分母的导数，前面缺什么乘什么，后面缺什么加减什么。

定积分的计算

• f(x)在[a,b]连续，则定积分存在
• f(x)在[a,b]有界且有限个间断点，则定积分存在
• 先计算对应的不定积分，然后代入积分的上限和下限并作差。

反常积分的计算

开区间中不存在 没定义的点 => 直接算
开区间中存在 没定义的点 => 分段

定积分的应用

这是一个分解dS或者dV的过程。

求面积 + 旋转轴体积，注意空壳的体积，实际上是两个实心的面积差。

定积分的求导

积分上限求导 * 代入被积函数 - 积分下限求导 *代入被积函数

3. 心得

• 计算定积分时：换元必换上下限 ！
• 计算定积分时：若是计算曲面积分（曲线方程），可以将其近似看作是扇形，dS = 1/2 * 长度的平方 * 角度
• 求含绝对值的定积分和反常积分
  • 去绝对值前先判断是否需要分段
  • 可能需要分类讨论

4. 附录

4.1 三角函数公式

4.1.1 二倍角

4.1.2 和差化积

记住1，3，5.其他的都可以推

4.1.3 其他

4.2 经典积分公式

例题：

题解：

4.3 点火公式

遇到高阶的三角函数，对称的考虑奇偶性，不对称的考虑点火公式！

华里士公式（点火公式）：

5. 二轮技巧（补充）

5.1 分式拆项：分母能因式分解，含一次式的高次幂

5.2 反余切函数的等价及导数

与arctanx的等价关系：
$$arctanx+arccotx=\frac{\pi }{2}$$
推导如下：
$$coty=tan(\frac{\pi }{2}-y)$$
令x = coty
$$\therefore x=tan(\frac{\pi }{2}-y)$$

$$\therefore arctanx=\frac{\pi }{2}-y=\frac{\pi }{2}-arccotx$$
$$\therefore arctanx+arccotx=\frac{\pi }{2}$$

导数：
$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

5.3 sec的积分

相似地，有cscx的积分：

5.4 cot、tanx 积分

同理，需要记住 下面两条等价积分：

• tanx积分是ln|secx|+C
• tanx的积分是-ln|cosx|+C

5.5 反常积分的敛散性

分析敛散性有两种情况，一种是区间无限的敛散，另外一种是无界的敛散。

B站参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1sr4y1Q7Np?p=2

5.6 因式分解的留数法

5.7 区间再现公式