第三章 一元函数积分概念、计算及应用

分部积分表格法指路

第三章 一元函数积分概念、计算及应用

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理

（一）原函数与不定积分的概念和基本性质

1. 原函数与不定积分的定义
2. 原函数与不定积分的关系
   注意常数C
3. 求不定积分与求微分（导数）的关系——互为逆运算
   注意常数C
4. 不定积分的简单性质，（提k(k≠0)，加减）

（二）定积分的概念与基本性质

1. 定积分的定义

   ① 积分区间有限，被积函数有限
   ② 构造积分和时，小区间的分割是任意
   ③ 定积分存在时，其值只与被积函数与积分区间有关，与积分变量的字母无关

2. 定积分的几何意义（注意正负）

3. 函数在区间上的可积性
   ① 函数在闭区间有界
   ② 以下三条满足其一：

• 闭区间连续
• 闭区间只有有限个间断点
• 闭区间单调

4. 定积分的基本性质
   ① 线性性质（加减）
   ② 对区间的可加性质（中间点可在区间内，也可在区间外）
   ③ 改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值
   ④ 比较定理，区间内函数小积分就小

推论 1：区间内恒大于等于0函数，积分值大于等于0
推论 2：积分的绝对值小于等于绝对值的积分
推论 3：估值定理：$m<=f(x)<=M$且不为常值函数
$m(b-a)<{\int }_a^{b}f(x)dx<M(b-a)$

⑤ 积分中值定理
⑥ 连续非负函数的积分性质（参考上面的几个推论）
⑦ 对于区间内的任意子区间的定积分都为0时，有$f(x)\equiv 0$

（三）基本定理

1. 变限积分函数的连续性与可导性
   3.1
   ① 若闭区间可积，则变上限积分是连续函数
   ② 若闭区间连续，则变上限积分可导

推论 1：变下限积分
推论 2：复合
推论 3：复合

2. 原函数的有关问题
   ① 原函数存在定理
   3.2 若连续，变上限积分函数是一个原函数
   若有第一类间断点则没有原函数
   ② 不定积分与变限积分的关系
   若连续，则
   ③ 初等函数一定有原函数，但是原函数不一定是初等函数

3. 牛顿-莱布尼兹公式
   闭区间

推论 1：开区间存在原函数且都连续，则
证明：用洛必达
推论 2：开区间存在原函数，且端点处分别左右连续则
证明：引入辅助函数
推论 3：区间内有间断点

（四）奇偶函数与周期函数的积分性质

1. 对称区间上奇偶函数的定积分

① 二倍， 0
② 偶积奇，奇积偶

2. 周期函数的积分
   3.5 如果在一个周期上可积，那么

• 以T为长度的区间积分值相同
• 变上限积分是T周期函数的充要条件，T长度区间内积分为0
• 全体原函数以T为周期的充要条件,T长度区间内积分为0

（五）利用定积分求某些$n$项和式数列的极限

条件：闭区间连续
具体题目见第一章

---

二、基本积分表与积分法则

（一）基本积分表

（二）积分法则

1. 分项积分法

2. 分段积分法
   ① 定积分
   ② 不定积分

• 连续拼接法
• 变限积分法

3. 换元积分法
   ① 不定积分的换元积分法

第一换元积分法（凑微分法）

② 第二换元积分法

• 三角函数替换
• 幂函数替换
• 倒替换

4. 分部函数法
   ① 不定积分的分部积分法
   条件：$u$ , $v$都有连续导函数
   ② 定积分的分部积分法
   条件：$u$ , $v$都导函数闭区间连续

• 写成${\int }_{}^{}udv$或者${\int }_{}u{v}^{\prime }dx$的形式

• 多次应用分部积分法，直到求出结果
• 有时可导出原函数的方程，不要遗漏常数$C$
• 用分部积分法可导出递推公式

③ 表格法

---

三、几种特殊类型函数的积分法

（一）有理函数的积分

（二）简单无理函数的积分

简单化简后，可使用第二换元积分法

（三）三角函数有理式的积分

万能代换

---

四、积分计算技巧

1. 几何意义
2. 奇偶性
3. 积分公式，华里士公式（点火）
4. 被积函数的分解与结合

---

五、反常积分（广义积分）

（一）反常积分（广义积分）的概念

1. 无穷区间上的反常积分的概念

2. 无界函数的反常积分的概念
   瑕积分，瑕点

3. 按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值

4. 常见反常积分

（二）反常积分（广义积分）的运算法则与计算

---

六、积分学应用的基本方法——微元分析法

---

七、一元函数积分学的几何应用

（一）平面图形的面积

1. 直角坐标系中的平面图形的面积
2. 极坐标
3. 曲线方程

（二）平面曲线的弧微分与弧长

（三）平面曲线的曲率

1. 概念
2. 曲率计算公式

（四）空间图形的体积

1. 平行截面面积为已知的立体的体积
2. 旋转体的体积

（五）旋转体的（侧）面积

1. 圆台的侧面积公式
2. 直角坐标系下的计算公式
3. 参数方程下计算公式
4. 极坐标公式

---

八、一元函数积分学的物理应用

（一）液体静压力

（二）变力做功

（三）引力问题

（四）质心或形心问题

1. 均匀线密度为$\rho$的质心（形心）问题
2. 均匀密度平面图形的质心（形心）

（五）函数在区间上的平均值

公式

---

常考题型约有十五种

后记：

---

回到顶部