数据包络分析--CCR模型

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        写这篇文章的目的是分享一下我在学习CCR模型时遇到的一些疑惑以及查阅资料后得到的相应解答。

        数据包络分析可以用来解决多指标问题。CCR模型是最早被提出来的数据包络分析方法。该模型的本质是线性规划。模型名称中的三个字母分别代表三个作者的名字的首字母。

1. 多指标问题

        什么是多指标问题？《数学建模算法与应用》中给出了这样一个例子：某市教委需要对6所中学进行评价，其相应的指标如表格所示。表1中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标来评价学校。

        该问题的实质是，根据输入、输出指标，给出一个最终的综合评价指标来给学校排序。看到这个例子，小编联想到了2020年华数杯C题(脱贫帮扶绩效评价)。这个题是可以用CCR模型来做的，但是小编当时不知道这个模型。正是因为这个原因，小编才决定深入学习CCR模型。

2. CCR模型

        现有$n$个决策单元DMU，每个DMU都有$m$种输入和$r$种输出。$X_j={\left(x_{j1},\dots ,x_{ji},\dots ,x_{jm}\right)}^T$为第$j$个DMU的输入向量，其中，$x_{ji}$表示第$j$个DMU的第$i$种输入。$Y_j={\left(y_{j1},\dots ,y_{js},\dots ,y_{jr}\right)}^T$为第j个DMU的输出向量，其中，$x_{js}$表示第$j$个DMU的第$s$种输出。为输入向量的权重，为输出向量的权重。CCR模型的数学模型可以表示为：
$$\begin{array}{l}\max \frac{u^T{Y}_{j_0}}{v^T{X}_{j_0}}\\ \text{ s.t. }\{\begin{array}{c}\frac{u^T{Y}_j}{v^T{X}_j}\le 1,j\in [1,n]\\ u>0,v>0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

        CCR模型是对每一个DMU进行评价，而每一个DMU的评分就是目标函数的值。这里的$j_0$表示$n$个决策单元DMU中的任意一个。以比率式作为评价指标，更符合实际意义。我们常说“投入和产出不成比例”就是这个意思。由于现实中的任何一项技术都不能使得输入全部转化为输出，所以$\frac{u^T{Y}_j}{v^T{X}_j}\le 1$。

        从第一个约束条件可以看出，在计算任意一个DMU的评分时，每一个DMU的评分都要求小于等于1。换句话说，第一个约束条件的个数实际上是$n$个。分式规划(分式作为目标函数)的缺点是它的解释不唯一。这是因为如果$v$、$u$是解，那么$kv$、$ku$也是解。这给求解增加了难度。为了求解方便，通常令目标函数的分母$v^T{X}_{j0}=1$或者通过Charnes-Cooper变化，将分式规划变为线性规划。我们采用后者。

        令$\omega =tv,\mu =tu,t=\frac{1}{v^T{X}_{j_0}}$，公式(1)可以变为：
$$\begin{array}{rl}& \max {\mu }^T{Y}_{j_0}\\ & \text{s.t.}\{\begin{array}{c}{\omega }^T{X}_j-{\mu }^T{Y}_j\ge 0,j\in [1,n]\\ {\omega }^T{X}_{j_0}=1\\ \omega >0,\mu >0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

        对于公式(2)，很多资料只给出了这个结果，本文将详细地说明其转化过程。首先是目标函数的转化过程。针对$\mu =tu$，我们先将等式两边同时做转置运算，再将等式两边同时除以$u^T$，得到$t=\frac{{\mu }^T}{u^T}$。将$t=\frac{{\mu }^T}{u^T}$、$t=\frac{1}{v^T{X}_{j_0}}$代入目标函数，化解后就可以把分数规划转为线性规划。具体过程如下：
$$\begin{array}{l}\mu =tu\Rightarrow {\mu }^T=t{u}^T\Rightarrow t=\frac{{\mu }^T}{u^T}\\ \max \frac{u^T{Y}_{j_0}}{v^T{X}_{j_0}}\Rightarrow \max t{u}^T{Y}_{j_0}\Rightarrow \max u^T\frac{{\mu }^T}{u^T}{Y}_{j_0}\Rightarrow \max {\mu }^T{Y}_{j_0}\end{array}$$
接着是约束条件的转化过程。对于公式(2)中的第一个约束条件${\omega }^T{X}_{j_0}-{\mu }^T{Y}_{j_0}>0$的转化过程如下：
$$\begin{array}{l}\omega =tv,\mu =tu\Rightarrow {\omega }^T=t{v}^T,{\mu }^T=t{u}^T\\ \frac{u^T{Y}_j}{v^T{X}_j}\le 1\\ \Rightarrow v^T{X}_j-u^T{Y}_j\ge 0\\ \Rightarrow \frac{{\omega }^T}{t}{X}_j-\frac{{\mu }^T}{t}{Y}_j\ge 0\\ \Rightarrow {\omega }^T{X}_j-{\mu }^T{Y}_j\ge 0\end{array}$$

对于公式(2)中的第二个约束条件${\omega }^T{X}_{j_0}=1$的转化过程如下：
$$\begin{array}{l}t=\frac{1}{v^T{X}_{j_0}}\\ \Rightarrow t{v}^T{X}_{j_0}=1\\ \Rightarrow {\omega }^T{X}_{j_0}=1\end{array}$$
        对于任何一个线性规划模型，它都存在一个等价的对偶模型。因此，我们可以把公式(2)写成它的对偶形式，如公式(3)所示。
$$\begin{array}{rl}& \max \theta \\ & \text{ s.t. }\{\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{X}_j\le \theta X_{j_0}\\ {\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{Y}_j\le Y_{j_0}\\ {\lambda }_j\ge 0,j\in [1,n]\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
我们对公式(3)做一下说明。首先$\theta$是一个数值，从别人的代码中我了解到，它就是我们对第个DMU的评分。如何从公式中得出这一结论，目前还没有想到。${\lambda }_j$是未知的权重，它需要通过线性规划来求得。换句话说，我们需要找到一组${\lambda }_j$，使得$\theta$最小。由于许多资料只给出了公式(3)，没有给出其推导过程，使得大家很困惑，所以本文在这里给出推导过程，希望可以解除大家的困惑。关于线性规划的原始模型和对偶模型的一般式，如公式(4)所示，左侧为原始模型，右侧为对偶模型。
$$\begin{array}{ll}\max c^T{x}^{\prime }& \min b^T{y}^{\prime }\\ \text{s.t.}\{\begin{array}{c}A{x}^{\prime }\ge b\\ x^{\prime }\ge 0\end{array}& \text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{A}^T{y}^{\prime }\le c\\ y^{\prime }\ge 0\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

对应公式(3)的目标函数${\mu }^T{Y}_{j_0}$，未知量是${\mu }^T$，而$Y_{j_0}$是已知量。我们对它做如下变化：
$$\max {\mu }^T{Y}_{j_0}\Rightarrow \min -{\mu }^T{Y}_{j_0}\text{\hspace{1em}(5)}$$
为了把公式(3)写成公式(4)的形式，我们认为：
$$\begin{array}{l}c=[\underset{m}{0,\dots ,0},-y_{j_{0}1},\dots ,-y_{j_0}{]}^T\\ x^{\prime }={\left[{\omega }_1,\dots ,{\omega }_m,{\mu }_1,\dots {\mu }_r\right]}^T\\ A=\left[\begin{array}{cccccc}{x}_{11}& \cdots & x_{1m}& -y_{11}& \cdots & -y_{1r}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& \cdots & x_{nm}& -y_{n1}& \cdots & -y_{mr}\\ -x_{j_{0}1}& \cdots & -x_{j_{0}m}& 0& \cdots & 0\end{array}\right]\\ b=[\underset{n}{0,\dots ,0},-1{]}^T\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
这里需要注意的是，公式(3)中的第一个约束条件实际上表示$n$个约束条件，把它写成矩阵的形式，就可以得到$A$、$b$；第二个约束条件需要在等式两边同时乘以-1。现在我们就可以得到公式(3)的对偶模型了。
目标函数推导：
$$\max b^T{y}^{\prime }\Rightarrow \max [\underset{n}{0,\dots ,0},-1]{\left[{\lambda }_1,\dots {\lambda }_n,\theta \right]}^T\Rightarrow \max -\theta \Rightarrow \min \theta$$
约束条件推导：
$$\begin{array}{rl}& A^T{y}^{\prime }\le c\\ & \Rightarrow \left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& \cdots & x_{n1}& -x_{j_{0}1}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ x_{1m}& \cdots & x_{nm}& -x_{j_{0}m}\\ -y_{11}& \cdots & -y_{n1}& 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ -y_{1r}& \cdots & -y_{nr}& 0\end{array}\right]{\left[{\lambda }_1,\dots {\lambda }_n,\theta \right]}^T\le [\begin{array}{c}{\underset{m}{0,\dots ,0},-y_{j_{0}1},\dots ,-y_{j_0}]}^T\end{array}\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}{\lambda }_1{x}_{11}+{\lambda }_2{x}_{21}+\dots +{\lambda }_n{x}_{n1}-\theta x_{j_{0}1}\le 0\\ ⋮\\ {\lambda }_1{x}_{1m}+{\lambda }_2{x}_{2m}+\dots +{\lambda }_n{x}_{nm}-\theta x_{j_{0}m}\le 0\\ {\lambda }_1{y}_{11}+{\lambda }_2{y}_{21}+\dots +{\lambda }_n{y}_{n1}\ge y_{j_{0}1}\\ {\lambda }_1{y}_{1r}+{\lambda }_2{y}_{2r}+\dots +{\lambda }_n{y}_m\ge y_{j_0}\end{array}\end{array}$$