【蓝桥集训】第七天——并查集

作者：指针不指南吗
专栏：Acwing 蓝桥集训每日一题

或许会很慢，但是不可以停下来

有关并查集的知识学习可以移步至—— 【算法】——并查集

1.亲戚

或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。

他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表姐的孙子。

如果能得到完整的家谱，判断两个人是否是亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及。

在这种情况下，最好的帮手就是计算机。

为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。

从这些信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。

请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。

输入格式

输入由两部分组成。

第一部分以 N,M开始。N 为问题涉及的人的个数。这些人的编号为 1,2,3,…,N。下面有 M 行，每行有两个数 $a_i,b_i$ ，表示已知 $a_i$ 和 $b_i$ 是亲戚。

第二部分以 Q 开始。以下 Q 行有 Q 个询问，每行为 $c_i,d_i$ ，表示询问 $c_i$ 和 $d_i$ 是否为亲戚。

输出格式

对于每个询问$c_i,d_i$ ，输出一行：若 $c_i$ 和 $d_i$ 为亲戚，则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围

1≤N≤20000,
1≤M≤$10^6$ ,
1≤Q≤$10^6$ .

输入样例：

10 7
2 4
5 7
1 3
8 9
1 2
5 6
2 3
3
3 4
7 10
8 9

输出样例：

Yes
No
Yes

• 思路

  • 把每个家族看成一个集合：人之间互为亲戚，则说明他们是一个家族的，用一个编号来表示；
  • 这个题比较简单，就是并查集的两个朴素操作：
    1. 两个人互为亲戚，进行家族合并，即并查集合并
    2. 查询两个人是否为亲戚，即看看这两人的家族是否一样

• 代码实现

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=200010;
  
  int n,m;   //n表示人数，m表示操作的次数
  int p[N];
  
  int find(int x)  //找到家族编号，即根节点
  {
      if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);
      return p[x];
  }
  
  int main()
  {
     scanf("%d%d",&n,&m);
      
      for(int i=1;i<=n;i++)  p[i]=i; //初始化父节点
      
      while(m--){   //m次合并操作，亲戚互认
          int a,b;
      	scanf("%d%d",&a,&b);
          if(find(a)!=find(b))  p[find(a)]=find(b);   //家族集合合并
      }
      
      int q;
      cin>>q;
      while(q--){  //q次查询，是否是亲戚，一个家族集合的
          int x,y;
          scanf("%d%d",&x,&y);
          if(find(x)==find(y))  puts("Yes");   
          else puts("No");
      }
      
      
      return 0;
  }
  

2.合并集合

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤$10^5$

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

• 代码实现

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=100010;
  
  int n,m; //n表示点的数量，m表示操作的次数
  int p[N];  //存的每个节点的父节点
  
  int find(int x) //返回x的祖宗节点+路径压缩
  {
      if(p[x]!=x)  p[x]=find(p[x]);
      return p[x];
  }
  
  int main()
  {
      scanf("%d%d",&n,&m);
      
      for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i; //最开始，每个点都各自在一个集合中，so父节点就是他本身；
      
      while(m--){
       
       char op[2];
       int a,b;
       scanf("%s%d %d",op,&a,&b);
       
       //合并
       if(op[0]=='M') p[find(a)]=p[find(b)];  //让a的祖宗节点等于b的祖宗节点，让a的祖宗节点直接插在b祖宗节点下面
       else{
           if(find(a)==find(b)) puts("Yes");  //判断是否属于同一个集合
           else puts("No");
       }  
      }
      
      return 0;
  }
  

注意

读入字母M或者是Q的时候，使用字符串op[2],是因为直接用char的话，可能会出现空格换行的问题作物，这种比较保险，记得在后面使用的时候，用op[0],不能直接使用op

puts自动包含换行

3.连通块中点的数量

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

1. C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
2. Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
3. Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤$10^5$

输入样例：

5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5

输出样例：

Yes
2
3

• 思路

  • 连通块就是一个点的集合：集合中的点可以相互到达，直接或者是间接都是可以的；

  • 这时候我们可以把它类比成一个树，运用并查集，一个点集合，我们可以用一个编号来表示，属于同一个编号，就说明两个点之间可以相互到达，在一个连通块里面；

  • 有三个操作：

    1. 两点之间连一条边，那么这两个点所在集合中的点，都是可以相互到达的，即合成一个连通块，用并查集中的合并操作；

    2. 判断是否在一个连通块，用并查集的查询；

    3. 询问一个点集合的数量，需要我们额外维护，初始化的时候每个集合1个，合并的时候，两个集合数量相加，最后输出即可

• 代码实现

  #include
  
  using namespace std;
  
  const int N=1000010;
  int n,m;
  int p[N],sizel[N];  //p表示父节点，sizel表示集合的大小，记住sizel里面放的是祖宗节点，后面容易出错
  
  int find(int n)  //返回祖宗节点
  {
      if(p[n]!=n) p[n]=find(p[n]);
      return p[n];
  }
  
  
  int main()
  {
      scanf("%d%d",&n,&m);  //读入点的数量和操作的次数
      
      for(int i=1;i<=n;i++){   //初始化，父节点就是它本身；集合大小都是1，只有他自己
          p[i]=i;
          sizel[i]=1;
      }
      
      char op[5];   
      while(m--){
          scanf("%s",op);  //读入操作的名字
          
          if(op[0]=='C'){   //合并
          int a,b;
          scanf("%d%d",&a,&b);
          if(find(a)==find(b)) continue;  //相同则进入下个循环
          else{   //不同即操作，两步的顺序不能反！！！
              sizel[find(b)]+=sizel[find(a)];  //b的集合大小加上a的集合大小
              p[find(a)]=find(b);   //让a的祖宗节点指向b的祖宗节点
          }
       }
       
          else if(op[1]=='1'){  //查询是否一个集合
              int a,b;
              scanf("%d%d",&a,&b);
              if(find(a)==find(b))  puts("Yes");
              else puts("No");
          }
          
          else{
              if(op[1]=='2') {   //输出集合大小
                  int d;
                  scanf("%d",&d);
                  printf("%d\n",sizel[find(d)]);  
              }
          }
      }
      
      return 0;
  }