416. 分割等和子集——【Leetcode每日刷题】

416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 100

思路：(动态规划)

0-1背包问题

先求数组数组nums 中所有数之和sum：

• 和为奇数时，一定不能分割成两个和相等的子集，返回 false;
• 和为偶数时，则有可能分割成两个和相等的子集，需进一步判断，此时可理解为，能否找到和为sum/2 的子集，从而可转换成0-1背包问题；

设置状态：

• dp[i][j] 表示考虑下标[0, i] 这个区间里的所有整数，在他们当中是否能够选出一些数，使得这些数之和恰好为整数 j

状态转移方程：

• 不选nums[i] : dp[i][j] = dp[i -1][j];
• 选择nums[i]:
  • nums[i] == j, dp[i][j] = true;
  • nums[i] < j, dp[i][j] = dp[i -1][j - nums[i]];

举个栗子：

代码：(Java)

二维dp数组

public class CanPartition {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] nums = {1,5,11,5};
		System.out.println(canPartition(nums));
	}
	public static boolean canPartition(int[] nums) {
		int sum  = 0;
		for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
			sum += nums[i];
		}
		if(sum % 2 != 0) {
			return false;
		}
		boolean[][] dp = new boolean[nums.length][sum/2 + 1];
		dp[0][0] = true;
		if(nums[0] <= sum/2) {
			dp[0][nums[0]] = true;
		}
		for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
			for(int j = 1; j <= sum/2; j++) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
				
				if(nums[i] <= j) {
					dp[i][j] |= dp[i - 1][j - nums[i]];
				}
				if(dp[i][sum/2]) {
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
    }
}

优化为一维dp数组：

public class CanPartition {

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		int[] nums = {1,5,11,5};
		System.out.println(canPartition(nums));
	}
	public static boolean canPartition(int[] nums) {
		int sum  = 0;
		for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
			sum += nums[i];
		}
		if(sum % 2 != 0) {
			return false;
		}
		boolean[] dp = new boolean[sum/2 + 1];
		dp[0] = true;
		for(int i = 1; i <= nums.length; i++) {
			for(int j = sum/2; j >= nums[i - 1]; j--) {
				dp[j] |= dp[j - nums[i - 1]];
			}
            if(dp[sum/2])
				return true;
		}
		return false;
    }
}

运行结果：

力扣运行结果：

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n\ast target))$，其中 n 是数组的长度，target 是整个数组的元素和的一半。需要计算出所有的状态，每个状态在进行转移时的时间复杂度为 O(1)。

• 空间复杂度：$O(target))$，其中 targe 是整个数组的元素和的一半。空间复杂度取决于 dp 数组，在不进行空间优化的情况下，空间复杂度是 $O(n\ast target))$，在进行空间优化的情况下，空间复杂度可以降到 $O(target))$。

注：仅供学习参考！

题目来源：力扣。