数学内容归纳

想到一个好主意，能否将数学的各个领域的知识串起来，通过一些简单应用场景。

维度

维度在很多地方出现，基本的是向量空间，接下来是函数空间，然后是代数构造里面的张量代数，多项式代数，还有拓展的微分流形，抽象流形，群的层级结构，分次代数结构。这里面有个问题，维度和次数是不是一样的，维度的代数性质，加法，乘法。整体上构成了一种计数，分类性质。所以，遇见所有的涉及计数和分类的问题，自然的考虑维度构造。

连续

如果说维度本质上是离散性质，那么连续是非常经典的构造。最初就是微积分，然后是拓扑，还有曲线，曲面，流形，以及抽象代数结构的完备化与拓扑构造。这里的问题可能就是连续的分类问题，一种是拓扑的好坏，这也是连续性的基础，一种是边界问题，毕竟连续的东西如果无穷大就没什么意义了。整体上构成一种现实的近似，毕竟现实中的事物一般都是平滑过渡的，因此应用也是非常广的。

微分方程

侧重于应用，物理方程，化学方程，许许多多的自然规律都可以通过微分方程近似，也是非常重要的构造。最初是单变量的常微分方程，然后是多变量的偏微分方程，还有从线性方程到非线性方程，这些方程也自然的定义出了函数类，满足某种微分方程的函数集合。其中的问题可能是求解办法，或者仅仅是解的表示方法，整体上表现一种事物连续变化的性质，几乎所有的自然现象都可以用它来建模。

概率

对不完备信息的处理，应用于各种困难问题，决策，规划，预测，探索。这种构造是在杂乱信息中寻求有价值的规律，信息越丰富，规律就越可靠。如果遇见非常困难的问题，使用它准没错，可以多提供一些信息，或者多一些合理猜测。整体上是对未知事物的一种近似，所以面对未知的事物，放心使用。

组合

对规律的简化，组合数学主要关注于如何确定行为的可能组合数目，本质上就是如何根据限制条件，简化搜索空间，所以和概率经常结合使用，构成了古典概率的内容。还有就是算法，毕竟简化搜索就是提升效率。

逻辑

逻辑是科学的坚实基础，关注于如何从假设抵达结论，所有的数学内容都是在逻辑的框架下展开的。逻辑表现在推理的合理性，结果的可靠性，推理系统的完备性，看起来不知如何使用，但是确实保证了操作的合规，就像程序一样，无论怎样操作，都不会导致崩溃。所以，还是非常重要的。建设完成之后，反而是意识不到了。

映射

映射是现代数学的典型特征，将一个领域的知识直接投射过来，形成新的知识，提出新的问题。这里面的内容太丰富了，比如将几何中的坐标系投射到函数空间中，获得函数坐标系，这就是正交函数系的概念，比如将代数中的群，模，域建立在几何空间中，获得几何体的群，模，域，这就是同调代数手段，比如将几何中的点，线，面，交点等概念应用到函数方程组构成的解空间中，获得解集，公共解集，零点集，这就是代数几何的手段。还有将群运算应用于几何变换中，这就是群表示的内容。所有的这些都是非常新的观点，放在古典数学中，每一个都将被质疑数十年，然后不得不接受，现在变成了非常自然的想法。

抽象映射

这是真正的前沿，脱离了想象力的极限，通过商结构构建相等，或者相似的对象，通过映射结构建立对象的特征量，通过特征量的变换获得对象的变换，虽然一切都无法想象，但是，可以在逻辑上建立合理的代数运算体系。这才是纯粹数学，一个不可实见的东西，仅能从感觉上把握。范畴语言是打开这扇大门的钥匙。不过，这些东西过于抽象，是缺乏了实体的规则演绎，即使是学习数学的人大概率也是不感兴趣的。只是，要解决一些有实体意义的问题，总会面对这样的数学怪物，比如选择公理，乌雷松引理，不可理解但是非常强大。

插曲

想起了不久之前看到的可描述问题层级，所有的数学问题可以按照描述的复杂度划分，有限描述问题，一阶语言可描述问题，二阶语言可描述问题，...n阶语言可描述问题，现在的数学问题，大部分是有限描述问题，或者一阶语言可描述问题，一部分是二阶语言可描述问题，后面的几乎没有。所以，数学的终点深不可及。假如每一个问题都可以附加一个背景，作为现实意义，那么意义结构的终点也是深不可及。面对这样的不可达的现实，总会怀疑学习数学的意义所在，如果目的是掌握所有，那必然不可能实现，即使目的是了解所有，也是不可能的，从基本规律上了解所有，其实也是不可能的。所以，学习数学怀有的任何终极目的其实都是无意义的，只是在眼界狭隘的时候意识不到罢了。那么留下来的就只能是有限目的，解决某一个问题，学会某一种方法，获得某种荣誉，得到人们的崇拜，或者过程论，只是乐在其中。若能乐在其中，不为其他所动，无疑是极大的精神享受。