分治策略找第K小元素

1. 问题

• 使用特定的分治策略去寻找无序数组中第 $k$ 小的元素。

2. 解析

• $select:$ 我们每次会挑选一个主元 $pivot$ 。这里有多种选择策略，这里我们选择挑取序列第一个。

• $partition:$ 根据 $pivot$ 划分序列。保证 $pivot$ 左边元素均比它小，右边元素均比它大 。

• $divide:$ 分治策略。我们根据给定的要求的第 $k$ 小，如果 $pivot$ 左边的元素大于等于 $k$ 个，那么第 $k$ 小的元素必然在 $pivot$ 左侧，那么我们可以舍弃 $pivot$ 的右侧元素。同理，如果如果 $pivot$ 左边的元素小于 $k$ 个，那么第 $k$ 小的元素必然在 $pivot$ 右侧，那么我们可以舍弃 $pivot$ 左侧元素。

• $recursion:$ 将 $divide$ 得到的序列继续递归。重复 $divide$ 的操作，直至只有一个元素，那么这个元素即是我们要求的第 $k$ 小的元素。

3. 设计

分治策略找第K小元素算法：

#include
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

int n,m,k;

//找出第k小，就是说有k-1个元素比它小
int FindKthMin(int a[],int l,int r,int k) {
	if (l==r) return a[l];
	int i = l, j = r;

	//选取开头元素取出来然后右左分别插空
	int x = a[i];
	while (i < j) {
		while (i<j && a[j]>=x)j--;
		a[i] = a[j];
		while (i<j && a[i]<=x)i++;
		a[j] = a[i];
	}

	//i作为分割点,i左边元素均比a[i]小,右边元素均比a[i]大
	a[i] = x;

	//计算左区间有多少个
	int num = i-l+1;

	//如果左区间个数少于k个,那么第k小必然在右区间
	if (num < k) return FindKthMin(a,i+1,r,k-num);

	//如果左区间个数大于等于k个,那么第k小必然在左区间
	return FindKthMin(a,l,i,k);
}


void run() {
	cin>>n>>k;
	int a[1000];
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		cin>>a[i];
	}
	cout<<FindKthMin(a,1,n,k)<<endl;
}


int main() {
	run();
	return 0;
}

4. 分析

• 如果每次划分点都处在序列中间，该算法将具有线性的期望时间复杂度

• 平均时间复杂度为：$T(n)=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{2^2}+\dots \dots +\frac{n}{2^k}=O(n)$

• 但在最坏的情况下其时间复杂度为快速排序的最坏时间复杂度为 $O(n^2)$

5. 源码

https://github.com/a894985555/Algorithm/tree/main/%E5%88%86%E6%B2%BB%E7%AD%96%E7%95%A5%E6%89%BE%E7%AC%ACk%E5%B0%8F%E5%85%83%E7%B4%A0