分治策略找第K小元素

1. 问题

  • 使用特定的分治策略去寻找无序数组中第 k k k 小的元素。

2. 解析

  • s e l e c t : select: select: 我们每次会挑选一个主元 p i v o t pivot pivot 。这里有多种选择策略,这里我们选择挑取序列第一个。
  • p a r t i t i o n : partition: partition: 根据 p i v o t pivot pivot 划分序列。保证 p i v o t pivot pivot 左边元素均比它小,右边元素均比它大 。
  • d i v i d e : divide: divide: 分治策略。我们根据给定的要求的第 k k k 小,如果 p i v o t pivot pivot 左边的元素大于等于 k k k 个,那么第 k k k 小的元素必然在 p i v o t pivot pivot 左侧,那么我们可以舍弃 p i v o t pivot pivot 的右侧元素。同理,如果如果 p i v o t pivot pivot 左边的元素小于 k k k 个,那么第 k k k 小的元素必然在 p i v o t pivot pivot 右侧,那么我们可以舍弃 p i v o t pivot pivot 左侧元素。
  • r e c u r s i o n : recursion: recursion: d i v i d e divide divide 得到的序列继续递归。重复 d i v i d e divide divide 的操作,直至只有一个元素,那么这个元素即是我们要求的第 k k k 小的元素。

3. 设计

分治策略找第K小元素算法

#include
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

int n,m,k;

//找出第k小,就是说有k-1个元素比它小
int FindKthMin(int a[],int l,int r,int k) {
	if (l==r) return a[l];
	int i = l, j = r;

	//选取开头元素取出来然后右左分别插空
	int x = a[i];
	while (i < j) {
		while (i<j && a[j]>=x)j--;
		a[i] = a[j];
		while (i<j && a[i]<=x)i++;
		a[j] = a[i];
	}

	//i作为分割点,i左边元素均比a[i]小,右边元素均比a[i]大
	a[i] = x;

	//计算左区间有多少个
	int num = i-l+1;

	//如果左区间个数少于k个,那么第k小必然在右区间
	if (num < k) return FindKthMin(a,i+1,r,k-num);

	//如果左区间个数大于等于k个,那么第k小必然在左区间
	return FindKthMin(a,l,i,k);
}


void run() {
	cin>>n>>k;
	int a[1000];
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		cin>>a[i];
	}
	cout<<FindKthMin(a,1,n,k)<<endl;
}


int main() {
	run();
	return 0;
}

4. 分析

  • 如果每次划分点都处在序列中间,该算法将具有线性的期望时间复杂度
  • 平均时间复杂度为: T ( n ) = n + n 2 + n 2 2 + … … + n 2 k = O ( n ) T(n) = n + \frac{n}{2} + \frac{n}{2^2} + …… + \frac{n}{2^k} = O(n) T(n)=n+2n+22n++2kn=O(n)
  • 但在最坏的情况下其时间复杂度为快速排序的最坏时间复杂度为 O ( n 2 ) O (n^2) O(n2)

5. 源码

https://github.com/a894985555/Algorithm/tree/main/%E5%88%86%E6%B2%BB%E7%AD%96%E7%95%A5%E6%89%BE%E7%AC%ACk%E5%B0%8F%E5%85%83%E7%B4%A0

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